Les opérateurs B-Fredholm

Abstract

Soit L(X) l’algèbre de Banach des opérateurs continus de X vers X. pour un opérateur borné T et pour tout entier n, on définit l’opérateur Tn comme la restriction de T à R(Tⁿ) vue comme application de R(Tⁿ) vers R(Tⁿ). si pour un entier n l’espace image R(Tⁿ) est fermé et Tn est un opérateur de Fredholm (resp. semi-Fredholm), alors T est appelé un opérateur B-Fredholm (resp. semi-B-Fredholm). M. Berkani a définit et a étudié cette classe d’opérateurs. Le but essentiel de ce travail est de continuer l’étude de cette classe et de montrer qu’elle constitue une extension naturelle de la classe des opérateurs de Fredholm. Après avoir donné dans le premier chapitre quelques résultats préliminaires. On donne dans le deuxième chapitre, des propriétés des opérateurs B-Fredholm et des généralisations de quelques résultats concernant l’indice pour les opérateurs B-Fredholm connu pour les opérateurs de Fredholm. Dans le troisième chapitre on introduit et on étudie la clase d’opérateurs dite la classe des opérateurs semi-B-Fredholm. Dans le quatrième chapitre on montre que les théorèmes de stabilité obtenus par C. Schmoeger, R Harte et R. Harte – X.Y. Lee sont une conséquence d’un théorème de Grabinet et on répond à une question de Harte-Lee. Dans le cinquième chapitre on obtient une caractérisation des opérateurs B-Freholm basée sur l’inverse de Drazin. Cette caractérisation est analogue à celle obtenue par F. V. Atkinson pour les opérateurs de Fredholm.