Résolution des équations de Saint Venant avec transport de polluant par un shéma éléments finis et shéma volumes finis

Abstract

Cette thèse est consacrée à la résolution numérique des systèmes de lois de conservation bidimensionnelles régissant les écoulements à surface libre. Le modèle physique est décrit par le système de Saint-Venant auquel peut être couplée une équation de transport-diffusion du polluant. Deux approches numériques ont été adoptées en maillages non structurés : l’approche éléments finis et celle «cell-centered» en volumes finis. Concernant la méthode des éléments finis, un schéma du type Taylor-Galerkin à deux pas a été adopté. Ce schéma, qui est centré, est de deuxième ordre dans l’espace et dans le temps. La génération d’oscillations aux voisinages des discontinuités surtout lors de la modélisation des ressauts hydrauliques est résolue par l’introduction d’une diffusion numérique là ou les chocs apparaissent, le modèle utilisé est celui de MaxCormack. Une analyse de stabilité numérique sur une équation scalaire a été menée afin de localiser la condition CFL. Le terme source du système de Saint-Venant est résolu par une méthode de fractionnement des opérateurs combinée à une prise en compte du terme source linéarisé. Le deuxième schéma est issu de la méthode des volumes finis. La partie hyperbolique des équations est discrétisée par le schéma décentré de Roe. Une modification entropique est nécessaire là où l’écoulement est sur fond sec. L’extension à l’ordre deux en espace est assurée par la technique du type MUSCL. La discrétisation temporelle quand à elle est menée par une méthode de Runge-Kutta d’ordre deux. L’opérateur de diffusion est discrétisé suivant un schéma à quatre points de type volumes finis, étudié par M. H. Vignal, et dont la convergence vers la solution entropique a été prouvée sous certaines conditions de stabilité et quelques restrictions sur le maillage. On conclut ce rapport par la présentation de plusieurs tests numériques. On compare les performances des deux schémas explicites, le schéma de Taylor-Galerkin en version éléments finis et le schéma de Roe issu d’une formulation volumes finis, sur une série de tests, rupture de barrages en présence d’obstacles, transport de polluant, propagation d’ondes dans un barrage circulaire, écoulement supercritique dans un canal convergent divergent.