Spectre des anneaux de séries formelles sur des Pullbacks et des constructions A+XB[[X]] : sur le groupe des classes des Pullbacks et la t-dimension de certains anneaux intègres

Abstract

Dans cette thèse se situe dans le domaine de l’Algèbre commutative. Elle porte d’une part sur la dimension de Krull et la caténarité des anneaux de séries formelles et des constructions A+X B[[X]], et d’autre part sur le groupe des classes et le t-spectre d’un anneau intègre. Elle est divisée en quatre chapitres. Dans la première partie du chapitre 1, nous étudions la dimension des anneaux de séries formelles à une indéterminée sur un d + M issue d’un anneaux de valuation, puis nous généralisons dans la seconde partie cette étude a R[[X]] où R est un produit fibré. Ainsi, nous commençons par examiner le transfert de la SFT-propriété à l’anneau R, puis nus déterminons la dimension de R[[X]]. Cette étude permet plusieurs applications, ainsi que la construction de nouveaux exemples et contre-exemples originaux. Le chapitre 2 est consacré à l’étude de la caténarité des anneaux de séries formelles à n indéterminés à coefficients dans un produit fibré R issu d’un anneau local. Nous déterminons les conditions nécessaires et suffisantes pour que R[[X₁, …, Xn]] soit caténaire. Comme application, nous montrons que pour tout entier m ≥ 1, il existe un anneau non Noethérien R de dimension m et tel que R[[X₁, …, Xn]] soit caténaire, pour tout entier n ≥ 1. L’étude de la caténarité de R[[X₁, …, Xn]] mène au dernier paragraphe de ce chapitre à la caractérisation des extensions de corps k  K pour lesquelles les spectres des anneaux k[[X₁, …, Xn]] et K[[X₁, …, Xn]] sont homéomorphes, pour tout n ≥ 1. Au chapitre 3, considérant une extension d’anneaux intègres a B, nous étudions le spectre la dimension de Krull et la caténarité des anneaux de la forme A + XB[[X]]. Après un examen au paragraphe 2 des différentes propriétés des idéaux premiers de A + XB[[X]], nous consacrons le paragraphe 3 à l’étude de sa dimension de Krull, avec un intérêt particulier dans le cas où B est un anneau Noethérien ou un SFT-anneau de Prüfer, contenant le corps des fractions de A. Le dernier paragraphe est consacré à l’étude de la caténarité de A + X B[[X]] en relation avec celles des situations sont importantes : Dans la première, nous montrons que si l’extension A  B. en particulier, deux l’hypothèse d’incomparabilité (ING) et B[[X]] est caténaire, alors A + X B[[X]] est caténaire si, et seulement si, A est caténaire et htB(q) = htA(q ∩ A) pour tout idéal premier q de B. dans la seconde, nous montrons que si B est un anneau de Prüfer contenant le corps des fractions de A, alors A + X B[[X]] est caténaire si, et seulement si, a est caténaire et B est de Dedekind. Dans la première partie du chapitre 4, nous calculons le groupe des classes d’un produit fibré issu d’un anneau local ; et comme application, nous nous intéressons à l’étude du transfert à l’anneau R des notions d’anneau pseudo-prüférien (PVMD), de Prüfer, de Gauss, De Bézout, … La seconde partie est consacrée à l’ étude de la t-dimension de certains anneaux intègres. Cette étude de séries en particulier la t-dimension des D + M issus d’un domaine v-cohérent et des anneaux de séries formelles sur un SFT-anneau de Prüfer et sur les PVD issus d’anneau de valuation discrète.