Quelques algorithmes de type prédiction-correction d'ordre élevé pour le calcul non-linéaire des structures

Abstract

Ce travail de thèse est une contribution à la résolution numérique des problèmes non-linéaires en physique. Une famille d’algorithmes de type prédiction-correction d’ordre élevé est proposé. Le prédicteur non-linéaire est basé sur la Méthode Asymptotique Numérique (MAN), qui combine une technique de perturbation et la méthode des éléments finis. Le correcteur non-linéaire est basé sur la technique d’homotopie. Une analyse détaillé, des algorithmes proposés, sur des exemples en mécanique est donnée. Les applications présentées dans ce travail se situent dans un vaste domaine : mécanique des structures élastiques et élasto-plastiques, mécanique des fluides visqueux, mais les idées sont génériques et donc applicables à la modélisation numérique de nombreux phénomènes physiques. Plusieurs stratégies fondées sur le choix du prédicteur non-linéaire et du correcteur non-linéaire ainsi que sur la longueur de pas ont été discutées. Les résultats obtenus montrent bien qu’il est possible d’établir une stratégie à moindre coût par rapport aux méthodes connues, basées sur une procédure de continuation sans correction. Dans ce même travail, un nouveau prédicteur-correcteur non-linéaire s’appuyant sur une procédure de linéarisation partielle et sur une technique d’homotopie, pour le calcul des problèmes physiques avec une forte non-linéarité très localisée, est présentée. A l’aide d’un exemple test en plasticité, on a montré l’influence de critère de plasticité et de la longueur de pas sur le nombre nécessaire d’inversions de matrices, pour calculer toute la courbe solution. La dernière partie de ce travail traite un sujet un peu différent, qui est le couplage de la technique de sous-structuration avec la MAN, conçu pour le calcul des problèmes non-linéaires à un grand nombre de degrés de liberté.