Méthodes nodales intégrales et polynomiales d’ordre élevé pour la résolution des équations de diffusion et des équations d'écoulement de fluides incompressibles

Abstract

Cette thèse est consacrée au développement des méthodes nodales Intégrales et Polynômiales d'ordre élevé pour la résolution des Équations de diffusion et d'écoulement de fluides incompressibles. Nous commençons cette thèse par rappeler quelques applications des Méthodes nodales. Nous donnons aussi les notations et les Définitions pour ce travail. Nous définissons ensuite la méthode nodale avec développement polynômial d'indice élevé notée " HONEM-m ", où $m$ et l'indice de la méthode. Pour $m=0$, nous retrouvons exactement la méthode nodale " NEM " développée par Fienmann. Nous avons ainsi développé une extension de la méthode nodale polynômiale du plus bas indice ($m=0$) à un schéma de discrétisation par méthode nodale avec développement polynomial d'ordre élevé, appliqué à une équation elliptique linéaire. Nous utilisons un opérateur d'interpolation multi-variable, permettant de montrer que l'ordre de convergence de " HONEM-m " croit avec l'indice $m$ et vaux $m+2$. Puis nous définissons la méthode nodale intégrale d'ordre élevé notée " HONIM -m", pour un problème d'écoulement de fluides incompressibles. Formulation qui généralise l'ordre 0 défini avant par Azmy et Dorning. Les ordres de convergences pour l'ordre 0 du schéma sont calculés numériquement pour un problème de cavité entraîné. Enfin nous donnons plusieurs schémas nodaux d'indice 0 pour la discrétisation de l'équation de la chaleur en une dimension avec une condition non-locale. Nous effectuons des tests numériques divers pour la validation du schéma. Une comparaison avec d'autres méthodes anciennes et récentes montre la supériorité en précision de la méthode nodale d'ordre 0 pour ce type de problèmes.