On the classical and quantum integrability of certain problems in Hamiltonian dynamics

Abstract

La question de l’intégrabilité dans les systèmes dynamiques reste une difficulté de recherche qui ne cesse de faire couler de l’encre jusqu’à aujourd’hui. L’intégrabilité est clairement un enjeu central pour comprendre les origines et les implications du comportement des systèmes dynamiques. Les systèmes intégrables physiquement intéressants sont rarissimes. Beaucoup de systèmes différentiels exhibent un comportement chaotique et aucune solution explicite ne peut exister. Par conséquent, cela suscite une excitation considérable lorsqu’on découvre un système intégrable. En outre, jusqu’à présent, aucune procédure systématique n’a été établie pour l’identification des systèmes intégrables. Dans ce contexte, la majorité des travaux de recherche ne se sont intéressés qu’à l’intégrabilité bidimensionnelle, mais très peu d’entre eux ont évoqué l’intégrabilité et le chaos des systèmes hamiltoniens en trois dimensions. Ce travail de thèse s’articule autour de l’étude de la problématique de l’intégrabilité des systèmes dynamiques, plus précisément, l’intégrabilité classique et quantique des systèmes hamiltoniens à trois dimensions (3D). Notre étude sur l’intégrabilité classique à 3D des systèmes hamiltoniens a bifurqué vers deux approches : la première concerne l’intégrabilité des systèmes hamiltoniens à 3D en s’appuyant sur leur intégrabilité à 2D. La deuxième approche est basée sur l’étude directe, sans avoir recours à l’intégrabilité classique à 2D, par l’utilisation conjointe de l’analyse de Painlevé et le calcul direct des intégrales premières au sens de Liouville. Par ailleurs, l’étude de l’intégrabilité quantique est basée sur l’intégrabilité classique. Dans cette optique, nous avons examiné l’intégrabilité classique du système de Hénon-Heiles à 3D, en se basant sur la première approche. Des simulations numériques ont été réalisées via les sections de Poincaré et les projections 3D des trajectoires, afin de fournir des prévisions supplémentaires sur la dynamique régulière et chaotique du système, et donc de corroborer les résultats analytiques, en particulier le scénario de la transition ordre-chaos en fonction des paramètres de contrôle du système. Ensuite, nous avons scruté l’intégrabilité classique du système d’ion piégé généralisé à 3D, par l’utilisation de la deuxième approche. L’étude quantique de ce système a été basée sur les résultats de l’étude classique. Par le biais du crochet de Moyal, nous avons construit les invariants quantiques. Nous avons pu alors constater que l’intégrabilité quantique n’est pas une conséquence triviale de l’intégrabilité classique. Au cours de cette analyse, nous avons soulevé trois types de comportement de base : l’invariant classique est identique à l’invariant quantique, l’invariant classique doit s’ajouter à une déformation pour obtenir l’invariant quantique et, troisièmement, l’invariant classique est insuffisant pour trouver l’invariant quantique. Enfin, nous avons apporté une étude exhaustive sur l’intégrabilité classique d’un système dynamique soumis à trois potentiels couplés à 2D et à 3D, à savoir le potentiel de Hénon-Heiles, l’interaction de l’atome d’hydrogène avec un champ magnétique uniforme et le potentiel de Duffing. Nous avons également mis en œuvre des investigations numériques afin de confirmer et de conforter les résultats analytiques.