Notions associées aux sous-domaines en algèbre homologique relative

Abstract

Certaines propriet´ es homologiques des modules telles que l’injectivit ´ e, la projec- ´ tivite, la platitude, etc. ont ´ et´ e classiquement consid ´ er´ ees comme des attributs que ´ les modules peuvent avoir ou ne pas avoir. Tout comme le interrupteurs classiques, ils n’ont que les positions marche et arret. Mais cela a chang ˆ e r ´ ecemment et une ´ nouvelle tendance est apparue il y a quelques annees: l’id ´ ee n’est pas de consid ´ erer ´ un module comme “il a la propriet´ e” ou “il ne l’a pas”, mais plut ´ ot d’ ˆ etudier jusqu’ ´ a` quel point le module a la propriet´ e. Ces types de concepts sont d ´ evelopp ´ es dans ´ cette these dans des contextes nouveaux et int ` eressants dans l’alg ´ ebre homologique.Le premier objectif de cette these est d’introduire une nouvelle perspective sur la ` platitude des modules. Cependant, nous etudions d’abord un contexte plus g ´ en´ eral ´ en introduisant des domaines relatifs a une classe pr ` ecouvrante ´ X . Ces domaines sont appeles domaines de ´ X -precouvertures compl ´ et´ ees et on les note par ´ X −1 (L) pour une classe de modules L. En particulier, lorsque X est la classe des modules plats, nous les appelons domaines de precouvertures plates compl ´ et´ ees. Cette ´ approche nous permet d’unifier certains concepts homologiques connus. Ceci induit la gen´ eralisation de certains r ´ esultats importants ainsi que la caract ´ erisation de ´ certains anneaux classiques en fonction de ces domaines.Le deuxieme objectif de cette th ` ese est d’ ` etudier quand est ce que chaque mod- ´ ule d’une classe L possede une ` X −1 (L)-preenveloppe. Les ´ X −1 (L)-preenveloppes ´ surjectives et injectives sont egalement ´ etudi ´ ees. Cette ´ etude joue un r ´ ole cl ˆ e dans la ´ mise en place d’un cadre gen´ eral pour plusieurs r ´ esultats classiques. Ensuite, pour ´ une classe de modules M de type fini, nous introduisons la notion de modules MR-Mittag-Leffler comme extension naturelle des modules R-Mittag-Leffler. Cela nous permet de retrouver plus facilement certains resultats connus, ainsi que d’en ´ etablir de nouveaux