Gorenstein homological algebra relative to a tilting-like module

Abstract

Ces dernières années, une variante de l’algèbre homologique de Gorenstein a été introduite avec succès. Elle consiste `a remplacer, dans certaines situations, l’anneau de base par un module semidualisant C. Récemment, et puisque les conditions requises pour qu’un module soit semidualisant sont assez restrictives, et toutes ne semblent pas entièrement nécessaires pour développer une théorie de (co)homologie satisfaisante, des travaux pertinents ont été publiés dans le but de savoir dans quelle mesure les conditions imposées au module C peuvent être réduites: les concepts de modules w-tilting et wcotilting apparaissent et une théorie satisfaisante a été développée. Les objectifs fondamentaux de cette thèse suivent trois directions. Tout d’abord, nous étudions la théorie des dimensions GC-projectives dans la catégorie des modules sur l’anneau matriciel triangulaire. Plus pr´ecis´ement, plusieurs concepts fondamentaux de l’algèbre homologique de Gorenstein relative sont caractérisés sur ce type d’anneaux: on parle des modules w-tilting, des modules GC-projectifs, des dimensions GC-projectives et de la dimension GC-projective globale de l’anneau. Dans la deuxième partie, nous étudions en détail le comportement de Gorenstein plat relatif, `a la fois en termes structurels et en termes de propriétés des dimensions associées, par rapport `a un module qui n’est pas nécessairement semidualisant. Enfin, nous étudions la classe des modules GC-plats d’un point de vue nouveau et prometteur: celui de l’aspect homotypique. Plus précisément, du point de vue des structures de modelés abéliens. Par conséquent, le reste de cette thèse est consacrée `a l’étude de l’existence d’une structure de modèle abélien impliquant la classe des modules GC plats et ensuite `a l’étudier plus en détail de ce point de vue.