Mesures de Lévy et fonctions de Lévy générales : Application à la décomposition de Lévy-Khintchine

Abstract

Ce travail a pour but d’approfondir l’étude du problème des semi-groupes de moments, des fonctions de type quasi-positif et des semi-groupes de convolution sur un sous-*-semi-groupe F du dual S* d’un semi-groupe abélien involutif (S,+,*) quelconque. Dans le premier chapitre on introduit de nouvelles notions de mesures de Lévy, de fonctions de Lévy et de formes quadratiques. On montre que l’on préserve les notions classiques et on donne des exemples de telles notions définies en ce sens nouveau. Le deuxième chapitre fournit, moyennant les notions introduites au premier chapitre, un nouveau théorème général de décomposition du "type de Khintchine" qui couvre les représentations de Lévy-Khnitchine classiques. Ce qui permet de donner deux résolutions partielles indépendantes du problème de décomposition des semi-groupes de convolution au moyen des semi-groupes de convolution "gaussiens" et "poissoniens". Dans le troisième chapitre on offre un résultat original, dit de stabilité, relatif aux semi-groupes abéliens involutifs, permettant de trouver certains résultats déjà connus et de résoudre le problème des semi-groupes de moments dans un cas très intéressant sortant du cas compact. Enfin, des applications générales sont données et permettent de retrouver avec des démonstrations plus simples les théorèmes de Berg et de Bickel de retrouver avec des décompositions de Lévy-Khnitchine des fonctions continues de type négatif sur (IR₊)P et sur IRP.