Le théorème de Jordan & Holder pour les extensions algébriques non nécessairement galoisiennes de corps

Abstract

Le paragraphe 1 introduit les ensembles homogènes pointés qui remplaceront les groupes pour les extensions séparables. Cette notion est étudiée suivant les méthodes de l’algèbre universelle : sous-ensembles homogènes pointés, quotients, théorèmes d’isomorphie, modularité du réseau des sous-ensembles homogènes pointés et théorème de Jordan & Hölder. La modularité du réseau des sous-objets est reliée à la condition suivante : Si R et S sont deux relations d’équivalence sur l’ensemble homogène pointé M, invariantes par le groupe de permutations GM, on a R₀S = S₀R. Au numéro 6 cette condition COMM est reliée à la décomposition de la représentation linéaire canonique de GM dans l’espace vectoriel des fonctions complexes sur M : elle est satisfaite si les composants isotypiques sont simples. Le paragraphe 2 traite des applications aux extensions algébriques séparables de corps. On montre d’abord comment associer un ensemble homogène pointé à toute extension algébrique de degré fini séparable de corps. On montre que cette association a les caractères d’une correspondance galoisienne. On énonce le théorème de Jordan & Hölder pour les extensions algébriques, et on donne une interprétation, en termes d’extensions de corps, de la condition COMM introduite au paragraphe 1. On donne enfin un critère de primitivité : si le groupe de permutations de l’ensemble homogène pointé associé à L/K est doublement transitif, l’extension L/K est primitive.