Rafinement automatique d'un maillage convergence d'une méthode d'éléments finis pour un problème singulier

Abstract

La présence des singularités dans les problèmes aux limites dégrade beaucoup la précision de la méthode des éléments finis. Notre travail s’inscrit dans la recherche d’un maillage avec raffinements adaptés permettant de récupérer un taux de convergence qui soit optimal, tout en économisant le nombre de degré de liberté : maillage quasi-optimal ; de proposer aux praticiens les méthodes de raffinement les plus fiables pour rapprocher ce maillage sur le plan pratique. Au premier chapitre, on examine l’ensemble des méthodes de maillages excitantes et après une discussion argumentée, on retient celles qui nous semblent les plus performantes. Dans le deuxième chapitre, une analyse mathématique fondamentale permettra d’isoler les singularités ponctuelles du type de problèmes elliptiques envisagé : domaine anguleux, opérateur anisotrope. Au troisième chapitre, on établit d’abord les lois de raffinements adaptés puis on caractérise le maillage quasi-optimal. Enfin, on adapte la méthode automatique basée sur le concept des recouvrements de Dirichlet pour approcher ce maillage quasi-optimal sur le plan pratique.