Etude de modèles très réduits du problème de Navier-Stokes semi-discret

Abstract

Le but de cette thèse est l’étude de systèmes différentiels très réduits ne conservant que les caractéristiques qualitatives du système de Navier-Stokes:création de tourbillon, puis diffusion et convection de cette vorticité. Dans le premier chapitre, après un rappel sur la méthode des éléments finis P₁ et le problème de Navier-Stokes en formulation (fonction de courant ψ, tourbillon ω), on donne un procédé technique de construction analytique des matrices représentants les différents opérateurs. Le chapitre II est consacré à l’étude d’un système différentiel à deux degrés de libertés en ω Est à valeurs fixes en ψ. L’analyse est faite en détail (existence des solutions stationnaires, étude de leurs stabilités). Le chapitre III vise à mettre en œuvre la non-linéarité typique des équations de Navier-Stokes : on étudie l’existence et l’unicité des solutions stationnaires dans le cas tridimensionnel général. Pour le cas d’un modèle tridimensionnel symétrique, on étudie la stabilité de la solution ω = 0 dans une "géométrie simple" qui simplifie le système tout en conservant les propriétés qualitatives des matrices, ceci nous conduit à mettre en vedette une bifurcation stationnaire pour le cas tridimensionnel symétrique.