Existence and regularity results for some nonlinear singular parabolic problems

Abstract

Cette thèse est consacr ́ee `a l’ ́etude des ́equations aux d ́eriv ́ees partielles (EDP’s) non lin ́eaires. Plus pr ́ecis ́ement, nous ́etudions l’existence et la r ́egularit ́e des solutions pour certains probl`emes paraboliques impliquant un terme d’absorption ou un terme singulier avec une croissance naturelle ou un potentiel de Hardy ou un terme d’ordre inf ́erieur singulier. La th`ese met l’accent principalement sur les EDP ́evolutives non lin ́eaires. L’objectif principal est d’obtenir l’existence et la r ́egularit ́e des solutions aux probl`emes consid ́er ́es avec certaines conditions aux limites de Dirichlet dans les espaces de Sobolev et Lebesgue. Certaines des techniques cl ́es utilis ́ees dans cette th`ese pour garantir l’existence de solutions sont la m ́ethode de convergence faible, le th ́eor`eme du point fixe de Schauder, etc. La r ́egularit ́e des solutions est ́egalement ́etablie principalement en utilisant l’in ́egalit ́e de Gagliardo-Nirenberg. L’une des principal difficult ́es qui se posent dans cette th`ese (g ́en ́eralement dans le cas parabolique) est la preuve de la stricte positivit ́e de la solution `a l’int ́erieur du cylindre parabolique, afin de donner un sens `a la formulation faible des probl`emes, et ainsi que son utilisation dans les passages de convergence. La preuve de cette propri ́et ́e est bas ́e sur l’application de l’in ́egalit ́e de Harnack.