Étude théorique et approximation numérique d’une nouvelle formule de dérivée de forme et applications

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude théorique et numérique d’une formule de calcul de la dérivée de forme utilisant une déformation de type Minkowski. Nous proposons une généralisation d’une formule de dérivation de fonctionnelles coûts intégrales volumiques par rapport à une famille de domaines non convexes. Nous commençons par proposer une première approche qui consiste à étendre les résultats des travaux antérieurs à une famille de domaines admissibles étoilés, en se basant sur leurs caractérisations via les fonctions jauges. Ensuite nous établissons un résultat d’existence de la dérivée de forme d’une fonctionnelle coût surfacique, en utilisant encore une fois une déformation de Minkowski d’ouverts étoilés par des convexes, tout en exprimant sa dérivée au moyen des fonctions support. Nous terminons la partie théorique de cette thèse en étudiant l’existence de la dérivée de forme de solutions de problèmes aux limites en utilisant la déformation de Minkowski d’ouverts étoilés par des convexes. Ceci permet de traiter des problèmes d’optimisation de forme dont la fonctionnelle coût dépend de la solution d’un problème aux limites modèle de type Dirichlet ou Neumann. Le deuxième volet de cette thèse vise à concrétiser les résultats obtenus dans le cadre de la nouvelle formule de dérivation de forme dans le cas convexe, en les appliquant à des modèles d’optimisation de forme. Nous nous intéressons, dans un premier lieu, à la résolution numérique d’un problème inverse à frontière libre de type Bernoulli, reformulé en un problème en optimisation de forme, ensuite dans le dernier travail effectué dans cette thèse nous étudions une classe de problèmes aux limites couplés via une condition de transmission appropriée de type Neumann, tout en suggérant un algorithme de résolution qui montre l’intérêt pratique de la nouvelle formule de dérivation en se basant sur une discrétisation par la méthode des éléments frontières et la réciprocité duale.