contribution à l’étude théorique et numérique par homogénéisation d’un problème de transfert de la chaleur dans un matériau composite

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à une analyse multi-échelles d’un problème d’échange thermique issu de la construction d’un matériau composite. Ce problème modélise l’évolution de la température dans une pièce composite périodiquement distribuée, formée par un milieu hétérogène composé de deux sous-domaines. Ce modèle est régi par un problème parabolique couplé, faisant intervenir un champ de vecteur solution d’une équation de Stokes, en présence d’une condition de transmission décrite par un terme d’échange radiatif non linéaire. Pour pallier ces difficultés, nous nous appuyons sur la théorie de l’homogénéisation périodique pour fournir un moyen systématique décrivant le comportement asymptotique de l’évolution de la température dans la pièce. Ceci dans le but d’obtenir des modèles homogénéisés par un passage à la limite via la convergence à deux échelles. Pour cela, nous proposons une étude théorique par homogénéisation de trois modèles physiques correspondant à différents termes d’échange thermique non linéaires. Ainsi, nous établissons tout d’abord quelques résultats d’estimations a priori sur la solution. Puis, en nous basant sur ces résultats, nous étudions l’existence et l’unicité de la solution du problème d’homogénéisation, dans chacun des cas, en utilisant le degré topologique de Leray-Schauder. Nous proposons, ensuite, un passage à la limite dans le problème d’homogénéisation, à l’aide de la convergence à deux échelles, pour les différents problèmes considérés. Nous identifions ainsi les problèmes homogénéisés associés à différents termes d’échange thermique non linéaires. Finalement, nous proposons une étude de l’approximation du problème d’homogénéisation, via un développement asymptotique et une discrétisation par la méthode des éléments finis. Nous terminons par donner quelques résultats numériques qui montrent l’efficacité de l’approche proposée.