Derived classes of positive sub-definite matrices in connection with the Linear Complementarity Problem

Abstract

Le Problème de Complémentarité Linéaire (PCL) est un problème fondamental qui trouve des applications dans l'optimisation, la théorie des jeux, l’économie et l’ingénierie. Soit K un cône propre, M une matrice réelle carrée d'ordre n et q un vecteur dimension n. Le problème de complémentarité linéaire sur K consiste à trouver un vecteur z tel que: z∈K,Mz+q∈K^* et z^t (Mz+q)=0 PCL(M,q,K) Si K=R_+^n , le problème s’écrit sous forme d’un système d’inégalités :

w-Mz=q, w≥0, z≥0 w^t z=0

Plusieurs classes des matrices symétriques ou asymétriques ont été introduites sur le chemin de la faisabilité et de la solvabilité du problème de complémentarité linéaire. Dans notre recherche, nous sommes intéressés à la famille des matrices PSBD dérivés. L’objectif de cette thèse est de vérifier les caractéristiques de ces matrices en utilisant leur rang. Dans la première partie de notre travail, nous utilisons les matrices de rang un car, par définition et leur caractéristique, elle vérifie et identifie l’existence des classes de matrice PSBD, GPSBD et WGPSBD.

Ensuite, nous analysons quelques propriétés générales des matrices PSBD, GPSBD ou WGPSBD où l'ordre et le rang de la matrice sont égaux à deux. A la fin de cette première partie, nous considérons une matrice de rang (M) ≥ 2, nous exposons quelques résultats importants.

Dans la deuxième partie de notre travail, nous considérons le cas d'un cône propre. Nous essayons de regrouper quelques définitions nécessaires des existences classes et sous-classes de matrices PSBD. Nous démontrons également certains critères, les propriétés de base et la caractérisation des matrices 〖PSBD〗^K. Ensuite, nous étudions minutieusement la matrice de rang un et nous démontrons certaines propriétés et des théorèmes importants et nécessaires. Par Ailleurs, il est démontré que pour une matrice de rang un, le problème de la complémentarité linéaire PCL(M, q, K) est solvable s’il est réalisable à certaines conditions supplémentaires.