Idéaux fermés de certaines algèbres de fonctions analytiques

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la description des idéaux fermés de certaines algèbres de fonctions analytiques sur le disque et le polydisque unité. Soit D le disque unité ouvert du plan complexe. Pour tout 0 · ® < 1 et pour tout 0 · ¯ < 1; on dé nie l'algèbre de Beurling du bidisque comme suit : A+ ®;¯ := ©f 2 A(D2) : kfk®;¯ := X m;n2N j bf(m; n)j(1 + m)®(1 + n)¯ < +1ª; où A(D2) est l'algèbre du bidisque. On désigne par Zf les zéros de la fonction f 2 A+ ®;¯ et en ce place dans le cas où Zf µ (f1g £ D) [ (D £ f1g): Le problème de déterminer les fonctions f 2 A(D2) ayant Zf = (f1g £ D) [ (D £ f1g) et tels que f est Beurling-Rudin extérieure est connue sous le nom de Problème de Levin uniforme. Dans la première partie de la thèse nous travaillons sur le problème de Levin discret. Nous donnons une extention des résultats obtenue par Hedenmalm à l'algèbre A+ ®;¯: Notons que la preuve est basée sur l'estimation de la résolvante dans l'algèbre quotient et ce grâce à la théorie de la ±¡visibilité (la résolution d'une identité de Bezout avec contrôle des normes des solutions dans l'algèbre) introduite et étudier par El-Fallah-Nikolski-Zarrabi. Ensuite une application d'un principe de Phragmén-Lindelöf nous permet de conclure. Dans la deuxième partie nous donnons une caractérisation complète des idéaux fermés de l'algèbre A® := D \ lip®; où D est l'espace de Dirichlet. Pour cela nous utilisons la méthode de la résolvante dû à Beurling-Carle man-Domar pour ramener le problème de la caractérisation des idéaux fermés à un problème d'approximation. Ensuite nous donnons un ra nement de la technique d'approximation de Korenblum.