Propriétés topologiques et théorie de point fixe dans les espaces métriques probabilisés généralisés

Abstract

En 1942 Karl Menger a proposé une importante généralisation de la notion des espaces métriques classiques par l’introduction des espaces métriques probabilisés, une telle idée vise à d’adapter au cas où la distance entre deux éléments n’est pas une valeur exacte mais une variable aléatoire. L’objet de cette thèse est l’étude des propriétés topologiques et la théorie du point fixe dans certaines classes d’espaces métriques probabilisés. Notre première étude porte sur les espaces métriques probabilisés formuler par Schwezier et Sklar, nous démontrons d’abord une série de résultats liés aux propriétés de la compacité, la complétude, la precompacité et la convergence uniforme, en particulier une extension du théorème des fermés emboités et des théorèmes de Niemytzki ? Tychonoff sont prouvés dans le cas de ces espaces. Ensuite, un théorème du point fixe pour les applications strictement contractive est démontré. Dans le deuxième partie nous introduisant une nouvelle classe d’espaces métriques probabilisés dites « espaces métriques probabilisés généralisés » dans lesquels l’inégalité triangulaire probabilisée est substituée par une inégalité plus générale appelée « inégalité quadrilatéral », Dans un premier temps on montre qu’en générale les propriétés déduite de l’inégalité tri-angulaire font défaut lorsque celle-ci est remplacée par l’inégalité quadrilatéral, telle que la séparation de l’espace, la continuité de la métrique probabilisée et d’autres. Dans un deuxième temps nous démontrons l’existence et l’unicité du point fixe pour les opérateurs φ-contractantes générales dans un espace métrique probabilisé, notre étude porte également sur le problème du point fixe commun. Plus précisément, un résultats sur l’existence et l’unicité du point fixe commun pour deux applications faiblement compatible est démontré dans ces espaces. Dans le dernière partie de ce travail la notion de la métrique probabilisée est abordée d’un point de vue non-symétrique. En effet, nous introduisons et étudions quelque propriétés la quasi-métrique probabilisée de Hausdorff qui constitue une généralisation de la métrique probabilisée de Hausdorff. Le dernier objet de cette partie est l’investigation de la propriété de complétude et de complétion de la métrique probabilisé de Hausdorff, ainsi des versions plus générales de certains résultats sont démontrées. Nous finissons notre travail par une application des résultats prétendent pour montrer sous certain conditions que tout systèmes de fonctions itérées probabilisé admet un ensemble invariant.