Loi de composition de Gauss sur le groupe de classes de corps de nombres et applications

Abstract

Dans cette thèse, nous généralisons la loi de composition de Gauss aux groupes de classes de corps de nombres. Puis, on démontre une conjecture de Farhi. La généralisation de la loi de composition de Gauss nous permet dans un premier temps de démontrer qu'ils existent des formes quartiques quaternaires représentant une infinité de carrés de nombre premiers ; et, sous certains conditions supplémentaires, une infinité de nombres premiers. D'autre part, elle nous permet de construire un système d'échange de clés basé sur certains corps biquadratiques généralisant le système d'échange de clés de Buchmann et Williams.Le premier chapitre contient une introduction générale de la loi de composition de Gauss. Le second chapitre contient une démonstration complète de la loi de composition de Gauss dans un anneau d'entiers principal de corps de nombres. On démontre dans le troisième chapitre qu'ils existent des formes quartiques quaternaires représentant une infinité de carrés de nombres premiers, et représentent une infinité de nombres premieres sous certaines conditions. Dans le quatrième chapitre, on définit un protocole qui généralise celui de Buchmann et Williams. Finalement, on démontre dans le sixième chapitre une conjecture proposée récemment par Farhi.