Développement asymptotique et équations fonctionnelles dans les classes de Carleman

Abstract

Le chapitre 1 de cette thèse est consacré à ne généralisation du théorème de Borel-Ritt-Ramis. Nous reprenons le travail de V. Thilliez sur ce sujet, pour le rendre plus explicite en offrant un cadre de travail plus concret où les calculs sont directs avec un raisonnement qui rend compte de l’aspect géométrique de notre problème. Dans le chapitre 2, nous montrons que certaines classes de Carleman sur certains domaines de C ou CN se caractérisent par l’existence, pour les fonctions qui y appartiennent, de développements en séries de fonctions holomorphes sur des voisinages appropriés du domaine envisagé, dépendant de la classe, et uniformément contrôlées sur ces voisinages par les termes d’une série géométrique convergente. Nous appliquons ce résultat pour obtenir une nouvelle méthode de construction du prolongement pseudo-analytique de E. M. Dyn’kin pour ces classes de Carleman. Une autre application du résultat obtenu, présentée dans le chapitre 3, concerne l’existence de solution Gevrey pour certaines équations différentielles fonctionnelles et équations différentielles fonctionnelles fractionnaires. Le théorème de prolongement pseudo-analytique de E. M. Dyn’kin, quant à lui, nous facilite dans le chapitre 4 la résolution dans un cas bien particulier, d’une conjecture de Belitskii-Dyn’kin-Tkachenko concernant l’existence de solution dans une classe de Carleman quasi-analytique sur R de certaines équations fonctionnelles aux différences. Il nous permet également dans le chapitre 5 de montrer, sous certaines conditions de régularité sur les données, l’existence de solutions Carleman pour certaines équations cohomologiques sur l’intervalle [-1.1]. Nous obtenons aussi par des méthodes directes, sans faire appel à la technique du prolongement pseudo-analytique, des résultats de régularité Carleman pour les équations cohomologiques sur l’intervalle [-1.1] et sur R. Dans le chapitre 6, nours appliquons les résultats sur les équations cohomologiques, à l’étude de certains problèmes de géométrie intégrale du plan complexe.