Mathematical modelling of infectious diseases: Deterministic and Stochastic Dynamics

Abstract

Bien que l’effet des maladies infectieuses sur le développement humain à travers l’histoire est trés connu, les mécanismes par lesquels les maladies se propagent, n’ont pu être pleinement compris qu’à vers la fin du XIXe siècle avec la découverte de micro-organismes et leurs rôle comme agents infectieux. Par la suite, au début du XXe siècle, les fondements de l’épidémiologie mathématique des maladies infectieuses ont été posées par les travaux fondateurs de Ross, Ker- mack et McKendrick. Dans cette thèse, nous avons traité, pour la première fois, une variété de modèles mathéma- tiques de maladies infectieuses ayant la possibilité d’être prévenues par vaccination. Le fonde- ment de notre étude est, d’ une part, de faire une analyse compléte des modèles déterministes non-linèaire et d’ autre part, d’établir le système d’équations différentielles stochastiques d’Itô associé. Une analyse minutieuse des modèles déterministes montre que leurs états d’équi-libre sans maladie sont globalement asymptotiquement stable dès que le nombre de reproduction de base (noté ) est inférieur à l’unité. Ce qui traduit, en effet, le fait que la maladie sera éliminée de la communauté si la vaccination conduit à rendre 1. Néanmoins, les modèles ont un seul état d’équilibre endémique lorsque > 1. En outre, nous avons démontré que l’unique état d’équilibre endémique est globalement asymptotiquement stable en utilisant de nouvelles fonctions de Lyapunov. Afin de relever le caractére aléatoire dans la dynamique des maladies, nous étions obligé de les traiter en utilisant la modélisation stochastique. En fait, une grande partie de ce travail à été consacrée à étude de l’effet des fluctuations environnementales, représenté par un bruit blanc, sur certains modèles épidémiques avec vaccination et un taux d’incidence genéral non-linèaire . Pratiquement, nous avons prouvé, pour chacun des modéles proposés, la positivité des solu- tions pour examiner, ensuite, la stabilité globale du modèle. Les conditions d’extinction de la maladie ont été établies suivant les différents types de convergence stochastique, notamment, la convergence en probabilité, la convergence en moyenne et la convergence presque sûre. De plus, des conditions suffisantes pour l’existence d’une distribution stationnaire érgodique ont été relevées. Finalemment, nous avons comparé le comportement de modèle déterministe par rapport à sa version stochastique. Pour celà, nous avons démontré que si les intensités de bruit sont suffisamment petites, la solution stochastique reste plus proche de l’état d’équilibre sans maladie ou de l’état d’équilibre endémique, même si le modèle stochastique n’admet aucun état d’équilibre. Tout au long de la thèse, nous avons illustré nos résultats théoriques par des simulations sous MATLAB 7.0. Certaines conclusions ont été effectuées et des orientations futures ont été proposées.