Structure presque k-complexes

Abstract

La géométrie k-symplectique en tant qu’extension de la géométrie de polarisation, propose un support géométrique pour formaliser les équations de Nambu-Hamilton régissant le mouvement de la mécanique statistique de Nambu. La structure k-symplectique standard de IRn(k+1) met en évidence un système de champs de tenseurs J1,…,,Jk de IRn(k+1) de type (1,1) possédant des propriétés étendant celles des structures presque complexes. Dans ce travail, ces champs de tenseurs, formeront le support d’une nouvelle structure appelée presque k-complexe dont la donnée est équivalente à celle d’une G-structure. L’intégrabilité d’une telle G-structure est équivalente à la nullité du tenseur de Bernard ; cependant, la nullité du tenseur de torsion {Jp,,Jq} de la structure presque k-complexe définissant la G-structure est une condition nécessaire, mais pas suffisante pour l’intégrabilité. Dans ce travail, on donne la classification des algèbres de Lie munies d’une structure k-complexe bi-invariante et en petite dimension, celle des algèbres de Lie nilpotentes munies d’une structures 1-complexe et 2-complexe invariante à gauche. Les structures vectorielles polarisées, qui généralisent les structures k-complexes, sont abordées dans ce travail.