Modélisation et simulation numérique des instabilités dynamiques des nanotubes de carbones multifeuillets

Abstract

Au cours de ces dernières années les nanotubes de carbone (CNT) ont suscité un intérêt et un engouement grandissants dans le monde de la recherche et développement (R&D). Les propriétés physiques exceptionnelles des CNTs tant sur les plans mécaniques que thermiques ou électriques placent actuellement ces nano objets à la pointe de l‘innovation. En nanotechnologie et particulièrement en NEMS (Nano-Electro-Mechanical-Systems). Cela donne actuellement lieu à une intense activité de recherche ayant pour but de poursuivre la miniaturisation et tirer profit des nouveaux phénomènes physique apparaissant au niveau nanométrique. Les propriétés mécaniques exceptionnelles des CNT en font des candidats potentiels pour la constitution des matériaux composites multifonctionnels et ultra-résistants. Leurs qualités de transport électronique en font des candidats pour la réalisation de nouvelles générations de transistors, de diodes, capteurs, actionneurs, nano oscillateurs, etc. L‘étude vibratoire de ce type de structure est primordiale pour leur utilisation en technologie miniaturisée et de pointe. L‘objectif de cette thèse est de développer des modèles mathématiques et des simulations numériques pour les problèmes de vibrations et d‘instabilités dynamiques et paramétriques des nanotubes de carbone simples et à écoulement fluide. Ces derniers sont classifiés comme mono feuillets (SWCNT) ou multi feuillets (MWNT) selon le nombre de tubes de carbone considéré. La modélisation et la simulation numérique des vibrations transversales et des instabilités dynamiques et paramétriques ont été élaborées dans ce travail. Ces études ont été basées sur la théorie d‘élasticité non locale et les modèles de poutres et coques ainsi que sur l‘interaction fluide-structure et de van der Waals. La méthode différentielle quadrature a été adaptée pour la résolution numérique en espace vu ses avantages numériques. Pour le problème temporel, différentes méthodes ont été utilisées. Le comportement vibratoire des nanotubes de carbone a été profondément analysé pour les faibles, moyennes et très hautes fréquences. Pour les nanotubes à écoulement fluide, les effets de la vitesse d‘écoulement, stationnaire et instationnaire, sur les instabilités dynamiques et paramétriques ont été profondément étudiés. Les vibrations propres, vitesses critiques de divergence et de flutter ainsi que l‘évolution de la fréquence en fonction de la vitesse d‘écoulement ont été déterminées en se basant sur les modèles de poutre et coques et la théorie d‘élasticité non locale. Les modes et fréquences complexes ainsi leurs évolutions en fonction de la vitesse d‘écoulement ont été déterminés pour différents types de nanotubes de carbone. Vu la sensibilité des paramètres physiques et géométriques des nanotubes de carbone, des paramètres incertains suivant différentes lois de probabilité ont été introduits. Cela mène à un modèle innovant et scientifiquement prometteur. Les analyses fréquentielle et temporelle ont été élaborées en résolvant les équations aléatoires et les processus stochastiques résultants. Pour plus de précision, ce travail de thèse s‘articule autour de six chapitres. Dans le premier chapitre, représentant une introduction générale, les propriétés remarquables des nanotubes de carbone et leurs utilisations dans différents domaines ont été discutés. Une large étude bibliographique a été présentée afin de couvrir un grand spectre d‘études élaborées dans ce domaine. L‘accent a été mis sur les modèles d‘élasticité non locale de poutres et de coques utilisés et sur les phénomènes statiques et dynamiques étudiés dans le cadre de cette thèse. La quantité des travaux récemment publiés sur ces nanostructures montre l‘intérêt et la portée technologique grandissants de ce type de structures et matériaux. Le deuxième chapitre présente la modélisation et la simulation numérique du comportement vibratoire des nanotubes en carbone soumis aux conditions aux bords généralisés. Ces conditions permettent d‘une part d‘unifier le formalisme lié aux conditions aux bords et d‘autre part de mieux approximer les conditions aux bords expérimentales. Une analyse analytique du comportement vibratoire des nano tubes en carbone a été développée et présentée. Les résultats obtenus présentent les effets du paramètre non local (e0a) sur les fréquences propres et sur la stabilité des modes supérieurs associés. Cela montre qu‘ à partir d‘une certaine valeur de (e0a), la structure devient instable par flutter. L‘effet des conditions aux bords sur la zone d‘instabilité a aussi été élucidé. L‘analyse vibratoire de ce type de structures a été effectuée et les résultats obtenus ont été comparés aux résultats numériques de la littérature. Dans le troisième chapitre, la modélisation du comportement vibratoire propre à basses, moyennes et hautes fréquences des nano tubes en carbone mono feuillets (CNT) a été élaborée en se basant sur les modèles de Timoshenko et de Bernoulli et sur la théorie de l‘élasticité non locale. De nouveaux modèles pour les fréquences propres et modes associés ont été développés pour les moyennes et hautes fréquences. Les modes obtenus, dans ce travail, sont numériquement stables à tous les ordres et peuvent être utilisés comme une base pour l‘analyse modale dans une large bande de fréquences. Les effets du paramètre non local sur les fréquences propres et sur la stabilité des modes supérieurs associés ont été analysés. Le quatrième chapitre traite l‘analyse dynamique des nanotubes en carbone mono et multi- feuillets à écoulements fluide. Une formulation mathématique modélisant l‘interaction fluide-structure a été obtenue en considérant un fluide stationnaire et instationnaire. Le comportement dynamique des nanotubes en carbone a été modélisé par une équation aux dérivées partielles complexes et sa résolution numérique nécessite des méthodes bien adaptées. Vu les avantages de la méthode quadrature différentielle, cette méthode a été adaptée en domaine fréquentiel pour la résolution numérique en espace. Déférents type de conditions aux bords ont été considérés et selon la vitesse d‘écoulement, les modes complexes et fréquences associées ont été obtenus. Les instabilités dynamiques, représentées par la variation des fréquences complexes (1ière, 2ème, etc) en fonction de la vitesse d‘écoulement, ont été profondément analysées. Les effets des paramètres physiques et géométriques des nanotubes en carbone sur l‘instabilité par divergence et par flutter due à la vitesse statique du fluide ainsi que sur l‘instabilité paramétrique lorsque le fluide est pulsatile ont été analysés. Dans le cinquième chapitre, le modèle de coques non linéaires de Donnell et la théorie de l‘élasticité non locale ont été utilisés pour la mise au point de la modélisation et simulation numérique des instabilités dynamiques des nanotubes tubes en carbones multi feuillets à écoulement fluide interne. La force d‘interaction fluide-structure dans le cas d‘un cylindre ainsi que l‘interaction de van der Wall ont été modélisées. Un système d‘équations aux dérivées partielles non linéaires modélisant le comportement dynamique des NTC multi-feuillets à effets d‘interactions a été obtenu. Les fréquences propres pour différentes vitesses statique d‘écoulement ainsi que les effets du paramètre non local et de l‘interaction de van der Waals ont été obtenues. Les effets du paramètre non local sur les vibrations non linaires des NTC ont été explicitement dérivés par le modèle complet de coques. Des nanotubes cylindriques mono et multi feuillets à écoulement interne ont été considérés. L‘analyse vibratoire linéaire et non linaire ainsi que la propagation d‘onde du système ont été étudiées. Les effets de la température et du paramètre non local sur la propagation d‘onde ont été analysés. Due à la taille des nanotubes en carbone, les paramètres physiques et géométriques sont très sensibles. Dans la littérature, des données très dispersées des paramètres ont été utilisées par différents auteurs. Cela a stimulé notre choix de considérer des paramètres incertains. Le chapitre six a pour objectif d‘élaborer des modèles et simulations numériques pour l‘analyse de l‘effet incertitudes des paramètres physiques et géométriques. Vu l‘effet de taille, les paramètres des NTC intervenant dans les modèles utilisés, sont inévitablement non déterministes. Ces paramètres sont alors considérés aléatoires et pouvant suivre différentes lois de probabilité. Les comportements statiques et dynamiques des NTC sont alors modélisés par des équations aléatoires ou processus stochastiques. Bien que l‘effet des paramètres aléatoires et propagation des incertitudes soient étudiés pour les structures classiques, très peu de travaux ont été publiés pour les nanotubes. Les modèles et simulations, élaborés dans ce chapitre, constituent une ébauche, scientifiquement prometteuse, pour l‘analyse aléatoire du comportement dynamique des nanotubes. Les méthodes de Monté Carlo, de l‘espérance conditionnelle et des polynômes de Chaos généralisés ont été utilisées pour cette fin. La méthode des paramètres aléatoires internes, récemment développée par M. Ben Said et L. Azrar a été aussi utilisée dans ce chapitre. Cette méthode permet la prise en compte d‘un grand nombre de paramètres aléatoires et d‘une excitation aléatoire ayant un nombre arbitraire de paramètres. L‘effet des paramètres aléatoires sur les vibrations, le flambage et la stabilité dynamique a été analysé. La réponse temporelle a aussi été élaborée pour un large nombre de paramètres aléatoires. Il est à noter que les méthodes de Monté Carlo et de l‘espérance conditionnelle nécessitent un très grand temps de calcul et d‘espace mémoire et que les méthodes des polynômes de Chaos ne peuvent être utilisées efficacement que pour très peu de paramètres aléatoires. La méthode des paramètres aléatoires internes basés sur les polynômes de chaos généraux permet de surmonter cette difficulté et d‘analyser les effets d‘un grand nombre de paramètres aléatoires. Les modèles et simulations numériques, présentés dans ce chapitre, ouvrent un champ d‘étude prometteur sur les nanostructures. Finalement, quelques conclusions ont été présentées dans le septième chapitre afin de résumer les principaux résultats développés et définir les perspectives de poursuite des travaux de recherche présentés ici.