Sur quelques équations aux dérivées partielles gouvernées par l’opérateur p(x)-biharmonique

Abstract

Nous présentons dans cette thèse quelques résultats récents concernant l’existence des solutions de certaines classes d’équations aux dérivées partielles elliptiques non linéaires d’ordre quatre gouver- nées par l’opérateur p(x)-biharmonique définie par p(x)u := ∆(|∆u| ∆u).

Dans le cas p(x) ≡ p constant, nous étudions le spectre de deux problèmes avec une perturbation à exposant critique, le premier problème est de type Steklov du fait que l’aspect spectral apparait au bord :

 ∆2pu = |u|p∗−2u dans Ω p−2 ∂u p−2 ∂u

sur Γ

∂n ∂n  2,p 1,p 0 le deuxième est un problème aux valeurs propres défini par 2 p 2 p∗ 2 p

0 Nous démontrons l’existence d’une suite croissante de valeurs propres positives (λk)k≥1, et nous établissons l’existence d’un intervalle de paramètres précis pour lesquels chacun des deux pro- blèmes admet au moins une solution non triviale qui vérifie certaines conditions de régularité. Ainsi, nous nous intéressons à deux problèmes avec singularité de type Hardy. Dans le premier problème :

 ∆2u = λ|u|p−2 u

dans Ω

2,p 0 nous démontrons que le spectre des valeurs propres Λ admet une suite croissante de valeurs propres positives (λk)k≥1 tel que sup Λ = +∞. Puis nous étendons ce résultat dans l’espace à exposant variable au deuxième problème

2 p(x)

p(x)−2

δ(x)2p(x)

2,p(x) 0 En suite, contrairement au cas p ≡ Const, nous prouvons que inf Λ > 0,

si et seulement si Ω satisfait l’inégalité p(x)-Hardy

r 1

p(x)

r 1 |u|p(x)

Mots clés : p(x)-biharmonique ; conditions non linéaires de type Steklov ; injection trace d’exposant critique de Sobolev ; application duale ; la condition de Palais-smale ; la théorie de Ljusternik- Schnirelmann ; l’inégalité de Hardy-Rellich.