Etude d'un problème de perturbation singulière elliptique non classique

Abstract

Etant donnés deux opérateurs elliptiques A et B d’ordre 4 et 2 respectivement, B₁ et B₂ deux opérateurs frontière d’ordre 2 et 3 respectivement on considère les problèmes aux limites

(εA + B)uε = ƒε dans un ouvert Ω de Rⁿ (P) B₁uε = φ₁, B₂uε = φ₂ sur la frontière ∂Ω de Ω

Le problème limite associé est

(L) {Bu =ƒ dans Ω, B₁u = φ₁ sur ∂Ω

L’essentiel de la thèse est consacré à la construction et à l’étude d’exemples en dimension n = 1 et n = 3 dans lesquels ƒ ∊L²(Ω), le problème (L) n’a pas de solution et ƒε → ƒ dans L²(Ω). On montre alors que uε diverge dans L¹(Ω) et on obtient une estimation de

uε

L¹(Ω). Le cas ƒε = ƒ, en dimension 1, est étudié à l’aide des séries de Fourier.