shc-structures et formalité des espaces sphériques

Abstract

Ce travail est divisé en deux parties disjointes. Dans la première partie, en dualisant la notion de shc-algèbre définie par a. Clarck et formalisée par H. J. Munkholm nous définirons la notion de sch-coalgèbre. Nous établissons que le dual au sens d’Eckmann-Hilton d’une sch-coalgèbre et une algèbre de Hopf à homotopie près. Nous montrons que C*(X ;K) est une shc-coalgèbre. Nous établissons quelques propriétés des espaces X pour lesquels C*(X ; K) est shc-équivalent à une coalgèbre cocommutative et nous montrons pour ces espaces que l’algèbre d’homologie H*(ΩX ; Fp) est une lagèbre de Hopf primitivement engendrée. Nous prouvons aussi que pour une certaine classe de coalgèbres différentielles graduées, l’isomorphisme de jones-McCleary HH*(C˅) ≅ HH*(ΩC) est un isomorphisme d’algèbres. Nous en déduisons que si X est un CW – complexe de type fini, l’isomorphisme de Goodwillie H*(Xˢ¹) ≅ HH* (C*(ΩX)) est un siomorphisme ‘algèbres. Dans la deuxième partie de ce travail, nous étudions la formalité des espaces sphériques. Généralisant le résultat de Deligne et al, nous montrons que les espaces sphériques (simples, compacts et connexes) et qui ne sont pas l’espace total d’un S¹-fibré principal de base un espace hermitien symétrique sont formels.