Contribution à l’estimation fonctionnelle dans les espaces de Banach

Abstract

Dans un premier temps, nous avons montré un résultat d’approximation des vecteurs aléatoires dépendants par des vecteurs aléatoires indépendants (couplage), que nous avons utilisé pour établir des inégalités exponentielles, de type Bernstein, pour des sommes de transformations, à valeurs dans des espaces de Banach ou des Hilbert, des vecteurs aléatoires dépendants multidimensionnels. Une application, parmi d‘autre, à l’estimation fonctionnelle a été étudiée dans le cadre des processus vectoriels fortement mélangeants (α) : nous avons montré la convergence presque sûre de l’estimateur à noyau de la densité de probabilité dans l’espace L1 sous de faibles conditions sur le mélange fort. Puis nous avons obtenu, dans un cadre plus général, des bornes supérieures pour les queues de distribution des sommes partielles de vecteurs aléatoires dépendants infinis dimensionnels, banachiques ou Hilbertiens, lorsque la dépendance est quantifiée en terme de coefficients de mélange régulier (β-mélange). De nouveaux résultats ont été établis sur l’estimation de la densité de probabilité dans L1 pour des vecteurs aléatoires dépendants où nous obtenons des conditions nécessaires et suffisantes de convergences presque sûre et leurs vitesses optimales (similaires au cas indépendant) pour une large classe de processus mélangeant ainsi qu’en moyenne. Ces résultats améliorent et complètent certains résultats existants, notamment pour le mélange régulier. Nous avons précisé les vitesses de convergences dans les deux cadres de mélanges fort et régulier. Nous avons aussi montré quelques autres applications des inégalités exponentielles, mentionnées ci-dessus, en particulier la loi forte des grands nombres pour des vecteurs aléatoires dépendants prenant leurs valeurs dans des espaces de Banach ou de Hilbert, que nous avons appliquée à l’estimation fonctionnelle dans L2. Cette application à la loi forte des grands nombres a motivé le travail sur les inégalités maximales et les lois fortes de type Marcinkiewicz-Zygmund pour des vecteurs aléatoires banachiques ou hilbertiens dépendants avec des applications à l’estimation de quelques paramètres des lois des vecteurs aléatoires hilbertiens ou banachiques dépendants (moyenne, opérateur de covariance,…) et l’estimation fonctionnelle. Elles ont améliorées et ont permises d’obtenir des vitesses dans les lois fortes des grands nombres similaires au cas réel ; et d’affaiblir les conditions sur le mélange. Des lois du logarithme itéré bornées ont été établies sous des conditions minimales. Puis nous avons étudié l’estimateur récursif à noyau de la densité de probabilité dans L1. Grace à ces inégalités maximales, nous avons montré, pour une large classe de processus, sa consistance forte sous les mêmes conditions du cas indépendant. Nous nous sommes aussi intéressés à l’estimation de l’opérateur fonctionnel de la régression lorsque la variable réponse est réelle ou banachique et la variable explicative prend ses valeurs dans un espace métrique séparable. Nous avons construit et étudié les propriétés asymptotiques d’un estimateur de type noyau de cet opérateur fonctionnel de la régression et nous l’avons appliqué à la discrimination de variables d’un espace métriques et illustré dans le cas oû la variable explicative est le processus de Wiener standard. Différents types de convergences ont été prouvées sous des conditions générales et leurs vitesses précisées. Ces conditions unifient le cas de dimension infinie et celui de dimension finie. En dimension finie on retrouve les conditions et les vitesses optimales. Ces résultats en dimension infinie sont nouveaux. Enfin, on a étudié la méthode du sous-échantillonnage des champs aléatoires continus pour approcher la loi d’une statistique estimant un paramètre inconnu associé à la loi d’un champ aléatoire continu. Après avoir obtenu une nouvelle inégalité exponentielle de type Bernstein liée aux coefficients de mélange fort pour les processus multi-indices continus dépendants, nous avons montré, sous des conditions minimales, la validité du sous-échantillonnage pour des champs aléatoires continus, améliorant ainsi les résultats obtenus jusqu’ici pour cette méthode dans le cadre dépendant. Des développements d’Edgeworth et l’extrapolation de Richardson de la distribution sous-échantillonnée ont été établis.