Sur certains problèmes elliptiques non linèaires et Calcul des Variations dans les espaces d’Orlicz-Sobolev avec poids

Abstract

Le contenu de cette thèse est constitué de deux parties, chacune d’elles est précédée d’une introduction détaillée. La première partie est consacrée à l’étude d’existence de solutions de certains problèmes elliptiques fortement non linéaires associés à l’équation A(u) + g(x, u, ∇u) = f dans Ω

où A(u) = −div(ρ(x)a(x, u, ∇u)) + a0(x, u, ∇u)

est un opérateur aux dérivées partielles, de type Leray-lions soumis à une dégénérescence de la forme :

a0(x, s, ξ)s + ρ(x) 1≤i≤N

ai(x, s, ξ)ξi ≥ λ0 [M (λ1s) + ρ(x)M (λ2 |ξ|)] ,

la fonction g est la "non linéarité forte ", elle vérifie une condition de signe et une condition de croissance en ∇u, mais aucune hypothèse de croissance en u. Les résultats obtenus utilisent une extension de la théorie des opérateurs pseudo-monotones aux espaces d’Orlicz-Sobolev avec poids, ce qui engendre une classe d’opérateurs assez large et donne une nouvelle approche différente de celle de la théorie du degré utilisée par P.Drabek, A.Kufner et F.Nicolosi. Quelques lemmes de convergence dans les espaces d’Orlicz- Sobolev avec poids sont établis. Notons que l’étude de ces problèmes est basée sur deux approches différentes, la première étant des sous et sur-solutions et l’autre étant la méthode de convergence des troncatures dans l’espace d’Orlicz- Sobolev avec poids W 1LM (Ω, ρ). La deuxième partie est consacrée à l’étude du Calcul des Variations dans les espaces de Sobolev avec poids et d’Orlicz-Sobolev avec poids, en discutant diverses formes de l’intégrande J(u) = (Ω f (x, u, ∇u)dx et la nécessité de la convexité de l’intégrande par rapport à la dernière variable pour obtenir la semi- continuité inférieure faible de l’intégrale sur un ensemble de niveu. Lorsque l’intégrande dépend du gradient, on est amené à établir un résultat d’approximation dans les espaces de Soblev avec poids et d’Orlicz-Sobolev avec poids.