Sur les applications non nécessairement additives qui préservent certaines parties de X, B(X) ou le rayon spectral conditionné

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à plusieurs problèmes de préservation non linéaire. Étant donné un espace de Hilbert complexe H de dimension supérieure ou égale à 3, et deux sous-ensembles W et V de B(H) contenant les opérateurs de rang un, nous caractérisons, dans le chapitre 3, les applications surjectives ϕ:W→V satisfaisant la relation rε(AB∗A)=rε(ϕ(A)ϕ(B)∗ϕ( A),pour tous A,B∈W. Soit X un espace de Banach. Dans le chapitre 4, nous étudions les applications ϕ : B (X)→B(X), non nécessairement additives ni surjectives, qui vérifient {ϕ(A)⋄ϕ(B)}′={A⋄B}′, pour tous A,B ∈B(X) ,où {A}′ désigne le commutant de l'opérateur A, et où ⋄ représente l'une des deux opérations suivantes : la somme A+B ou le produit AB. Dans le chapitre 5, nous étudions les applications surjectives ϕ:B(X)→B(X), non nécessairement additives, qui vérifient F(ϕ(A)⋄ϕ(B))=F(A⋄B),pour tous A,B∈B(X), où F(A) désigne soit l'image R(A), soit le noyau N(A) de l'opérateur A. L'opération ⋄ représente l'une des opérations binaires suivantes : la différence A−B, le produit AB ou le produit triple ABA. Enfin, dans le chapitre 6, nous caractérisons les applications surjectives ϕ:B(X)→B(X) qui préservent le sous-espace spectral local associé au produit généralisé d'opérateurs. Autrement dit, nous caractérisons les applications surjectives ϕ :B(X)→B(X) satisfaisant X ϕ (A1)∗⋯∗ϕ(Ak)({λ}) = XA1∗⋯∗Ak ({λ}), pour tous A1,…,Ak ∈ B(X) et tout λ ∈ C, où A1∗⋯∗Ak désigne le produit généralisé de k opérateurs A1,…,Ak ∈B(X).