Modules injectifs et C-modules sur un anneau de type Krull

Abstract

L’objectif de cette thèse est d’étudier les modules injectifs sur un anneau de type Krull. Nous montrons que si A est un anneau de type Krull, alors A est un anneau de type Krull indépendant si et seulement si E(M) ≈ E( ωΩ Mω) où Ω est une famille de valuations qui définit A. nous montrons aussi que sur un anneau à caractère fini, si Ω est l’une de ses familles de définition et si pour tout ω  Ω, M(ω) est ℛω–module alors ωΩ E(M(ω))est un B-module injectif. En utilisant ce dernier résultats, nous obtenons le résultat intéressant suivant : Si a est un anneau de type Krull et Ω une famille de définition de A, et si pour tout ω  Ω, M(ω) est un ℛω–module divisible alors ωΩ M(ω) est un A-module ξ-injectif. Aussi nous montrons l’unicité de la famille fine Ω’ qui définit un anneau de type Krull et que E(K/A) ≈ Ω’E(K/ℛω). Ce dernier résultat nous a permis d’obtenir la caractérisation suivante : si a est un anneau de type Krull, alors A est un anneau de type Krull indépendant si et seulement si E(K/A)ω E(K/ℛω)pour tout ω  Ω’. Dans ce cas nous avons le résultat général suivant : E(Mω) ≈ E(Mω) pour tout A-module codivisoriel M et tout ω  Ω’. Ensuite nous avons défini et étudié un anneau fortement de type Krull et nous avons montré que les anneaux de type Krull qui vérifient la propriété "E(Mω) E(Mω) pour tout A-module M et tout ω  Ω’" sont exactement les anneaux fortement de type Krull indépendants, et que sur cette classe d’anneaux nous avons : Dim.inj(Mod(A)/Mo) = sup tout ω  Ω’, dim.hom(ℛω). Dans le dernier chapitre, nous introduisons et nous étudions la notion de C-module.