Lissage monotone et optimisation non différentiable pour la résolution d'un problème de codage multidimensionnel

Abstract

Ce travail consiste en un premier lieu à donner une vue générale de l’ensemble des méthodes de lissage qu’on a classé en trois catégories: lissage paramétrique, par moyennage, et par les fonctions splines. Nous énonçons ensuite certains résultats et démontrons d’autres, tout en nous efforçant à donner une justification assez rigoureuse des méthodes étudiées, comme l’étude faite sur les filtres de Friedman. Puis, nous étudions les fonctions splines en présentant certains algorithmes parmi les plus intéressants, et nous approfondissons l’étude du choix du paramètre de lissage. C’est là un point crucial, pour l’implantation de ces méthodes dans certaines méthodes statistiques d’analyse des données, c'est-à-dire assez pratique, du point de vue rapidité et place mémoire. Nous menons ensuite une comparaison de différentes méthodes de lissage monotone, que nous avons retenu pour leur intérêt pratique. De plus, nous présentons une simulation, en utilisant des fonctions bruitées présentant les différentes structures que peut avoir une fonction assez régulière et monotone, afin d’évaluer la robustesse, et la stabilité de ces méthodes. Enfin, nous proposons un algorithme de résolution d’un problème numérique posé par le codage multidimensionnel, optimisant les fonctions STRESS de Kruskal. Cette proposition tient compte de la non différentiabilité de ce type de fonction objectif. Elle itère deux phases : La première résout un problème de programmation presque différentiable, en prouvant l’existence d’un presque-gradient pour ces fonctions objectives, alors que la deuxième phase résout un problème de régression, à l’aide d’une méthode de lissage monotone.