On the normality of certain rational algebras

Abstract

Soient R un anneau de Dedekind et K son corps de fraction. Soient L = K(α) une extension finie s´eparable de K avec α ∈ OL l’anneau des entiers de K. dans cette th`ese nous utilisons l’application norme et la notion de polynˆomes pures, que nous g´en´eralisons `a un anneau de valuation discr`ete arbitraire pour ´etudier les ´el´ements d’une base int´egrale de OL, cela nous permet de donner une condition suffisante pour que R[α] ne soit pas int´egralement clˆos. Nous consid´erons ´egalement le probl`eme d’existence d’une base triangulaire de OL sur un anneau principal arbitraire tel que la suite de ses d´enominateurs est suite factorielle et nous donnons plus de pr´ecision sur l’indice id´eal et les coefficients dominants. Am´eliorant significativement un r´esultat dans cette direction par M. Hall pour les corps de nombres cubiques (1937) [30] qui est d´eriv´e comme un cas particulier d’un r´esultat plus g´en´eral prouv´e ici. La preuve est bas´ee sur une nouvelle version du th´eor`eme de structure bien connu des modules sur (PID). Plus pr´ecis´ement, nous exprimons explicitement l’indice id´eal comme un produit de d´enominateurs d’une base triangulaire monique et ´etablissons ainsi une d´ecomposition int´eressante de l’indice sur (PID). Ensuite, nous ´etudions quelques conditions n´ecessaires et suffisantes pour l’existence d’une base int´egrale d’extensions relatives en utilisant une version r´ecente du crit`ere de Dedekind, quelques exemples illustratifs sont donn´es en utilisant le logiciel de calculMaple. Enfin, lorsque α satisfait le polynˆome irr´eductible P(X) = Xp − a, on donne une formule explicite du discriminant DL/K de L sur K. A titre d’illustration, on calcule le discriminant DL/K d’une famille de corps purs septiques et quintiques sur des sous-corps quadratiques.