Propriétés stochastiques d'un système non-linéaire en dimension finie

Abstract

Le présent travail s’insère dans un cadre de recherche développé au LPA, sur les propriétés statistiques des systèmes dynamiques à un nombre fini de degrés de liberté. Après avoir rappelé les origines physiques de la théorie ergodique nous décrivons les développements mathématiques nouveaux liés à une formulation rigoureuse des propriétés chaotiques et à leur hiérarchisation. Ensuite un rappel sur les comportements qualitatifs des équations différentielles ordinaires nous permet de préciser la forte instabilité de certains systèmes dynamiques (systèmes chaotiques). Une méthode numérique d’intégration d’équations différentielles doit donc répondre, pour de tels systèmes, à certains critères de stabilité. Nous avons été amené à choisir parmi différentes méthodes, celle qui nous paraissait à même de satisfaire au milieu ces exigences. Le système dynamique qui fait l’objet de ce mémoire est un modèle non-linéaire en dimension cinq issu de la mécanique des fluides. Les caractères ergodiques et mixing du système ont été établis par plusieurs tests : comparaison entre moyennes temporelles et moyennes microcanoniques, nombre de zéros des solutions par unité de temps, et un test statistique portant sur les propriétés topologiques de ces deux caractères. Grâce à la technique des exposants caractéristiques de LYAPOUNOV, on montre le caractère "KOLMOGOROV" du système (entropie positive), ainsi que son caractère "ANOSOV" (existence pour une évolution à long terme, d’une direction dilatante et d’une direction contractante assurant le mixing et l’ergodicité.