Propriété du point fixe pour les T-treillis complets et applications

Abstract

Le thème de cette thèse est d’enrichir la théorie du point fixe et de construire un lien entre la structure discrète et la structure métrique. Elle est composée de deux parties : La première partie introduit une nouvelle notion appelée T-treillis complet qui généralise la notion de treillis et développe la théorie du point fixe dans les ensembles ordonnés. Nous avons établi un théorème nouveau de type Tarski dans les ensembles ordonnés dits T-treillis complets. Ce théorème représente une extension du théorème de Tarski. Nous établissons par la suite une extension de ce théorème aux applications multivoques et nous obtenons alors une forme semblable à la version multivoque du théorème de Tarski considéré sur les treillis complets. La deuxième partie de cette thèse est une application des résultats de la première partie sur les espaces métriques en particulière, les espaces hyperconvexes. A chaque espace métrique nous construisons un ensemble ordonné correspondant pour montrer qu’un espace métrique est convexe 1-dimensionnel si et seulement si l’ensemble ordonné correspondant est un treillis. De même, nous plongeons tout espace hyperconvexe borné dans un T-treillis complet. Ces résultats nous ont poussé à redémontrer les théorèmes de Banach, de Sine et Soardi et de Baillon. De même, sur le côté pratique nous avons montré que l’espace temps d’une particule en mouvement dans un espace physique, est un hyperconvexe.