Analyse harmonique sur le groupe libre et sur les graphes

Abstract

IFr désigne le groupe libre à un nombre fini r ≥ 2, de générateurs. Soit µ₁ la probabilité de masse un équirépartie sur l’ensemble des mots de longueur un. L’opérateur L, de convolution à droite par µ₁ est considéré comme l’analogue de l’opérateur de Lapalace-Beltrami. Nous introduisons la notion de fonction proharmonique pour caractériser les fonctions propres de l’opérateur L. Nous construisons et étudions des représentations unitaires du groupe IFr dans certains espaces proharmoniques. Nous établissons l’analogue du théorème de Helgason pour les produits libres r*₁ZZk, où r et k sont deux entiers ≥2.