Fonctions «Splines» d'approximation

Abstract

Soit Ω un ouvert borné de IR² et ℒh une triangulation de Ω. Le problème pratique est : étant donné une fonction u ∊ Hm (Ω) (resp. u ∊ D⁻m L² et supp u  Ω ) connue aux nœuds de la triangulation ℒh, construite une fonction qui soit une bonne approximation de u dans Hm(Ω) (resp. dans D⁻m L²). Une solution de ce problème était fournie par les fonctions "splines" d’interpolation (cf. ATTEIA [1], DUCHON [2]. Mais la stabilité numérique des méthodes utilisées pour l’obtention de ces "splines" d’interpolation pour N (nombre de nœuds) grand a toujours posé des problèmes (cf. PAIHUA). En utilisant les noyaux reproduisants et la méthode des éléments finis, nous donnons une réponse à ce problème. Pour toute fonction u de Hm (Ω) (resp. u de D⁻m L² et supp u  Ω ), nous construisons une "spline" d’approximation Ahu ∊ Hm (Ω) (resp. Ahru ∊ D⁻m L²(Ω) L²) convergeant vers u dans Hℓ(Ω), 0 ≤ ℓ ≤ m et dans ℒⁿ(Ω), 0 ≤ n ≤ m-2 (resp. dans D⁻m L² et dans ℒℓ (IR²), 0 ≤ ℓ ≤ m-2). Ces "splines" d’approximation sont facilement calculables pour un nombre de nœuds N quelconque et possède autant de régularité que les "splines".