Calculs fonctionnels holomorphe et harmonique dans les algèbres de Jordan-Banach non commutatives quotients et applications

Abstract

Dans ce travail, nous étudions un problème fondamental dans la théorie des algèbres de Jordan-Banach non commutatives quotients J/α, où J est une algèbre de Jordan-Banach et α un idéal bilatère différent de J, muni d’une norme d’espace de Banach plus fine que celle induite par la norme de J, à savoir : Calculs fonctionnels holomorphe et harmonique.

Au début, nous rassemblons les éléments mathématiques qui interviennent dans cette étude.

Puis, nous attaquons le problème de la construction des calculs fonctionnels holomorphe et harmonique. Pour cela, nous mettons en évidence une application de la classe C∞ de C] sp (a) à valeurs dans J. grâce à cette application, et en se basant toujours sur la formule intégrale de Cauchy (resp. la formule intégrale de poisson), nous définissons le calcul fonctionnel holomorphe (resp. harmonique).

Afin de montrer l’intérêt de ce travail, nous généralisons le théorème de J. W. Ford à une algèbre de Jordan-Banach non commutative quotient. Puis, nous nous intéressons à une famille particulière d’algèbre G : c’est la famille d’algèbres associatives A telle que l’algèbre spéciale A+ soit de Jordan-Banach. Nous donnons alors, un analogue de l’inégalité de Von Neumann dans l’algèbre A/α, avec A un élément de G.

Après, nous étudions le calcul fonctionnel harmonique dans le cas des algèbres alternatives, et en faisant appel à la sous-harmonicité du rayon spectral, nous montrons que la fonction la fonction de Ptăk est une semi-norme d’algèbre. Puis, nous donnons quelques applications notamment l’inégalité de Von Neumann.

La thèse est entièrement acceptée pour publication. Ses résultats vont apparaître sous forme d’article dans la revue internationale à comité de lectureײ Bulletin de la société Mathématiques de Belgiqueײ.