La cocatégorie rationnelle d'un espace

Abstract

La catégorie de Lusternick-Schnirelmann d’un espace topologique S est définie comme le nombre minimum, moins un, d’ouverts contractiles dans S constituant un recouvrement de S. C’est un invariant homotopique lié à la structure multiplicative de la cohomologie. En 1960, Ganéa donne une définition de la catégorie qui se dualise au sens d’Eckmann-Hilton, définissant ainsi un invariant homotopique appelé cocatégorie de l’espace S. Cet invariant est lié à la structure de l’algèbre de Lie d’homotopie de l’espace et par suite très difficilement calculable. L’objet de ce travail est la construction d’une approximation notée cocat₀S, de la cocatégorie d’un espace simplement connexe S. Nous démontrons que cocat₀S est un invariant du type d’homotopie rationnelle qui est calculable à partir du modèle de Quillen de S aussi bien qu’à partir du modèle filtré de S. Nous établissons des inégalités entre cocat₀S, la nilpotence de l’algèbre de Lie d’homotopie rationnelle de S, in invariant lié à la suite spectrale d’Eilenberg-Moore de S, et la cocatégorie de l’espace rationalisé.