Sur les transformations non nécessairement linéaires qui conservent certaines parties du spectre

Abstract

Ce travail de thèse trouve son origine dans une conjoncture de I.Kaplanskyײ Est-ce que toute transformation d’une algèbre de Banach A vers une algèbre de Banach B qui est linéaire surjective et conserve le spectre est un morphisme de Jordan ?ײ Beaucoup de mathématiciens se sont appliqués à résoudre cette conjecture mais n’ont réussi à le faire que dans certains cas particuliers. Une réponse positive à cette conjecture a été donné par A.Jafarian et A.R.Sourour dans le cas des algèbres des opérateurs bornés sur un espace de Banach complexe. Ils ont démontré que si X et Y sont deux espaces de Banach complexe et Φ : B(X) → B(Y) est une transformation linéaire surjective qui conserve le spectre, alors ou bien il existe une transformation linéaire bijective bornée A : X → Y telle que Φ(T) = ATA¯ 1 pour tout T Є B(X), ou bien Φ(T) = BT*B¯ 1 pour tout T Є B(X). Dans ce travail nous avons entrepris d’affaiblir les hypothèses de A.Jafarian et A.R.Sourour à savoir la linéarité, la conservation du spectre et la surjectivité. Après un chapitre introductif renfermant les principales notions requises pour permettre le plus d’autonomie possible à ce travail, nous avons réussi, au chapitre 2 à réduire l’hypothèse de conservation du spectre, à celle, plus faible, de conservation du spectre ponctuel et la linéarité à l’additivité. Dans le chapitre 3 et dans le cas particulier où X = Y est un espace de Hilbert de dimension infinie, et grâce à l’usage de la trace et de diverses techniques, nous avons arrivés à la même conclusion, mais en remplaçant la linéarité de la transformation par l’additivité et la conservation du spectre par la conservation du spectre de surjection. Dans le chapitre 4, nous avons entrepris une autre tentative d’affaiblissement d’hypothèses, nous avons obtenus deux résultats, le premier est le théorème 4.4 relatif à la trace ayant la propriété que l’ensemble des opérateurs nilpotents est contenu dans l’image de ces derniers, et le deuxième est le théorème 4.5 relatif à la trace ayant la propriété que l’image de Φ contient l’idéal des opérateurs de rang fini.