Théorèmes limites et grandes déviations pour certains processus stochastiques

Abstract

Les Théorèmes limites pour les mesures d’occupation des processus stochastiques, les grandes déviations et les lois fonctionnelles de Strassen représentent actuellement un des deux axes principaux de la recherche en théorie des probabilités et ses applications. C’est dans ce contexte que se situe cette thèse. En effet, dans la première partie nous nous sommes intéréssé aux théorémes limites pour les mésures d’occupations d’une classe de processus stables symétriques suivant la topologie des espaces plus petites (Espaces de hÖlder et espaces de Besov) que l’espace des fonctions continues en se basant sur les travaux de T. Yamada (1986), Fitzsimmons et getoor (1992), Rosen (1990) et K. Yamada (1999). L’étude de la convergence faible se fait en deux étapes : 1) la convergence des lois finies dimensionnelles 2) la relative compacité des lois de processus. Dans le cas où l’espace est séparable complet, une condition nécessaire et suffisante pour établir la realtive compacité est la tension des lois des processus. Ce résultat est dû à Prohorov. L’idée principale de cette partie est d’établir un critère de tension dans les espaces de besov afin d’étendre les résultats de convergence faible à ces espaces. Pour cela nous avons utilisé les isomorphismes entre les espaces de Besov et les espaces des suites réelles, une idée dû à Ciesielski, Kerkyacharian et Royenette (1993), et la régularité mixte hÖldrienne du temps local d’un processus stable symétrique et de sa dérivée fractionnaire. La deuxième partie de cette thèse, est indépendante de la première. Vu l’ultime connexion entre les grandes déviations et la loi de logarithme itéré (LIL), nous montrons un principe des grandes déviations pour une classe large de processus stochastique satisfaisant une équation différentielle stochastique sur le plan afin d’établir la loi fonctionnelle de logarithme itéré sur le plan (généralisation d’un résultat de Baldi (1986) dans le cas uni-paramètre). Nous étudions aussi la loi fonctionnelle de type Strassen pour la solution d’une équation différentielle stochastique de Volterra. Comme application, nous établissons la loi de logarithme itéré pour les équations aux dérivées partielles stochastiques hyperboliques, pour le mouvement Brownien fractionnaire de paramètre de Hurst ½≤ H<1 et celle de son temps local.