Mesure de la projectivité dans les catégories abéliennes. Applications aux complexes

Abstract

Au cours des dernières années, Lopez-Permouth et plusieurs collaborateurs ont introduit une nouvelle approche dans l’étude de la projectivité, de l’injectivité et de la ´ planéité classiques des modules (voir par exemple [29, 6, 14]). De cette façon, ils ont introduit les domaines de sous-projectivité des modules comme un outil pour mesurer, en quelque sorte, le niveau de projectivité d’un tel module (donc pas seulement pour déterminer si le module est projectif ou non). Dans ce mémoire, nous développons un nouveau traitement de la sous-projectivité dans toute catégorie abélienne qui éclaire davantage certains de ses divers aspects importants. A savoir, en termes de sousprojectivité, certains résultats classiques sont unifiés et certains anneaux classiques sont ´ caracteris ´ es. On montre aussi que, dans certaines catégories, la sous-projectivité mesure des notions autres que la projectivité. De plus, cette nouvelle approche permet, en plus d’établir des généralisations de résultats connus, de construire de nouveaux exemples ´ tels que le domaine de sous-projectivité de la classe des objets projectifs de Gorenstein, la classe des complexes DG-projectifs et des types particuliers de représentations d’un carquois linéaire fini. ´ Aussi, dans cette thèse, nous étudions profondément la sous-projectivité dans la catégorie des complexes sur une catégorie abélienne. Nous prouvons que la notion de ´ sous-projectivité fournit une nouvelle vision des morphismes nuls-homotypiques dans ´ la catégorie des complexes et nous montrons à travers plusieurs résultats l’importance de la sous-projectivité dans la catégorie des complexes. Notamment, la sous-projectivité offre une nouvelle vision aux quelques notions classiques des anneaux. En plus, divers exemples sont donnes afin de supporter la nouvelle vision et aussi de discuter les limites de quelques résultats.