Contribution à l'étude de l'observabilité régionale dans les systèmes paraboliques

Abstract

Un système distribué désigne un système dont l’évolution est décrite par des équations aux dérivés partielles qui font intervenir les variables du temps et de l’espace et tiennent compte de la nature géométrique du domaine Ω où il évolue. Etudier l’observabilité d’un tel système c’est étudier la possibilité de reconstruction de l’état initial à partir des mesures prises sur le système au moyen d’outils appelés capteurs. Le concept de l’observabilité régionale concerne l’observabilité d’un système uniquement sur une partie ω de Ω Lorsque Ω est située sur la frontière de Ω, on parle d’observabilité régionale frontière. La distinction entre observabilité, observabilité régionale et observabilité régionale frontière est dictée par des considérations mathématiques et physiques : - Mathématiques : Les opérateurs qui interviennent dans les trois cas sont différents et le choix d’espaces d’état différents s’impose. Il en découle des propriétés et des résultats différents. - Physiques : Un système non observable sur Ω tout entier peut être observable sur ω lorsqu’elle est située à l’intérieur du domaine ou sur sa frontière, d’où le grand intérêt pour des applications pratiques. Dans ce travail on étudie pour les systèmes distribués paraboliques les concepts de : - L’observabilité régionale frontière. - L’observabilité régionale du gradient sur une partie interne du domaine. - Relations entre ces concepts et la nature des capteurs utilisés. Tout au long du travail des exemples illustrant ces concepts sont donnés et des approches numériques sont proposées.