Méthodes d'approximation et de lissage par des fonctions splines à une et deux variables

Abstract

Dans ce travail nous nous sommes intéressés au début à la construction de nouvelles familles de B-splines et à l’étude de leurs d’approximation. Ensuite, nous avons proposé deux méthodes, basées sur les B-splines classiques, pour la résolution de certaines équations différentielles ordinaires. Enfin, nous avons introduit des méthodes de lissage de courbes et de surfaces. Plus précisément, la thèse est composée de trois parties. Dans la première partie, nous montrons l’existence et l’unicité d’une spline symétrique à support minimal qui s’écrit comme combinaison linéaire d’un nombre minimal de B-splines successives de l’espace Srd des splines polynomiales cardinales de degré d et de régularité r. nous démontrons que l’ordre d’approximation dans l’espace engendré par les translatées entières de cette B-splines n’est pas optimal. Cependant, leur utilisation dans le dessin géométrique, où l’ordre d’approximation n’est pas crucial mais où un support de longueur réduit est recommandé, pourrait être utile. Pour avoir un ordre d’approximation élevé, nous définissons par récurrence de nouvelles familles de B-splines cardinales symétriques. Ensuite, en utilisant la représentation des polynômes dans l’espace engendré par les translatées entières de ces B-splines, nous construisons des quasi-interpolants de norme quasi-minimale associés à ces splines. Dans la deuxième partie, nous proposons une méthode de collocation par les splines basée sur les interpolants qui satisfassent des conditions aux limites pour résoudre des équations différentielles linéaires ou non linéaires. Ensuite, nous analysons l’erreur entre la solution exacte et la solution basée sur cette méthode de collocation. Nous décrivons aussi dans cette partie, les étapes de construction des quasi-interpolants discrets qui satisfassent des conditions aux limites, puis nous présentons la méthode de collocation associée pour la résolution numérique des équations différentielles linéaires ou non linéaires. Nous étudions la convergence de cette méthode. Enfin, nous donnons au dernier paragraphe, quelques exemples numériques qui illustrent les résultats théoriques. Dans la troisième partie, nous introduisons des méthodes simples permettant le lissage de courbes et de surfaces. Etant donnés, un intervalle de IR muni d’une subdivision quelconque et une fonction ƒ définie par morceaux de classe Ck sauf aux nœuds (xi) ou elle est seulement de classe Cki, ki < k. La méthode proposée permet de transformer ƒ en une fonction qui soit de classe C sur tout l’intervalle. Cette méthode a été généralisée au cas de deux variables pour lisser des surfaces particulières. Ensuite, comme application de cette méthode, nous avons décomposé le produit tensoriel des interpolants splines d’Hermite. Enfin, nous présentons une méthode qui permet de compresser des données d’Hermite. Pour illustrer ces différents résultats, nous donnons quelques exemples numériques.