EQUICONTINUITE DES APPLICATIONS PUISSANCES ET SERIES ENTIERES DANS LES ALGEBRES LOCALEMENT CONVEXE

Abstract

Ce travail porte sur l’étude, ainsi que les liens, entre quelques questions de la théorie spectrale des algèbres localement convexes, non nécessairement commutatives. Il s’agit de l’opération des séries entières, l’équicontinuité en zéro de la suite des applications puissances et la continuité de l’application inverse. Nous introduisons la classe des algèbres localement convexes non nécessairement commutatives dans lesquelles la suite des applications puissances est équicontinue en zéro. Une étude approfondie, de leurs propriétés spectrales, est produite. Le cas particulier des B0-algèbres est bien examiné. Nous montrons que l’application inverse est continue dans toute algèbre localement convexe, non nécessairement commutative, dans laquelle la suite des applications puissances est équicontinue en zéro. Puis, nous prouvons que la réciproque est fausse en général. Nous obtenons, en particulier, la continuité de l’application inverse dans toute B0-algèbre dans laquelle les séries entières opèrent. Nous montrons que la complétude ainsi que la métrisabilité sont nécessaires. Nous dégageons l’outil fondamental qui est à la base des résultats de B. Mitiagin, S. Rolewics et W. Zelazko et de A. El Kinani et M. Oudadess. Il s’agit de la notion de pseudo-équicontinuité en zéro d’une famille d’applications. Elle permet d’alléger les preuves de certains résultats classiques tels que les théorèmes de Turpin pour les applications puissances dans les algèbres commutatives localement convexes et celui de B. Mitiagin, S. Rolewics et W. Zelazko pour les séries entières dans les · B0-algèbres commutatives. Nous obtenons également qu’une B0-algèbre commutative est m-convexe si une série entière, avec un contrôle approprié sur ses coe¢ cients, opère dans un ouvert de l’algèbre.