Sur la géométrie du fibré (unitaire) tangent d’une variété Riemannienne

Abstract

Il est indéniable que le fibré tangent d'une variété joue un rôle fondamental en géométrie différentielle. Sa structure géométrique devient particulièrement intéressante lorsqu'il est muni de la métrique de Sasaki, dans le cas où la variété de base est riemannienne. En effet, depuis l'introduction par S. Sasaki d'une métrique riemannienne sur le fibré tangent d'une variété riemannienne, la géométrie des fibrés tangents a fait l'objet de nombreuses études et a suscité l'intérêt de nombreux géomètres. En utilisant le concept de naturalité et les notions qui lui sont associées, O. Kowalski et M. Sekizawa ont établi, en 1988, une classification des métriques, pas nécessairement pseudo-riemanniennes, sur les fibrés tangents des variétés riemanniennes orientées. Ces métriques sont obtenues à partir de transformations naturelles de métriques riemanniennes définies sur les variétés orientées vers des métriques sur leurs fibrés tangents. Un résultat de classification analogue a été obtenu par I. Kolář, P. W. Michor et J. Slovák, sans tenir compte de l'orientation de la variété de base. Ces deux résultats de classification ont ensuite été améliorés par M. T. K. Abbassi, qui a également donné une caractérisation de ces métriques, qu'il a appelées métriques g-naturelles. Il convient de noter que les métriques g-naturelles ainsi obtenues dépendent d'un nombre fixé de fonctions réelles, déterminé par la dimension de la variété de base et définies sur R+, appelées fonctions génératrices. Au cours des deux dernières décennies, une dynamique de recherche importante s'est développée dans ce domaine, donnant lieu à la publication de nombreux travaux intéressants qui ont permis de mettre en lumière différents aspects de la géométrie des fibrés tangents munis de métriques g-naturelles. L'objectif de cette thèse est d'explorer de nouveaux aspects de cette géométrie en étudiant certaines propriétés géométriques des métriques g-naturelles générales sur le fibré tangent TM et le fibre étangents unitaire T1 d'une variété riemannienne (M,g), en mettant en évidence leurs liens avec les propriétés géométriques de la métrique de base. Plus précisément, notre étude s'articule autour de trois axes principaux : les trajectoires magnétiques sur le fibré tangent unitaire, les symétries infinitésimales sur le fibré tangent et le fibré tangent unitaire, ainsi que les structures de solitons de Ricci sur ces deux fibrés. 1. Trajectoires magnétiques sur le fibré tangent unitaire Notre étude des trajectoires magnétiques est motivée par deux considérations. D'une part, celles-ci constituent des généralisations naturelles des géodésiques. D'autre part, elles possèdent une interprétation physique particulièrement intéressante. En effet, en physique, elles représentent les trajectoires de particules chargées se déplaçant sur une variété riemannienne (en particulier dans l'espace euclidien tridimensionnel) sous l'action de champs magnétiques. Or, la définition des courbes magnétiques nécessite une structure métrique de contact. Nous considérons donc, sur le fibré tangent unitaire, les structures métriques de contact g-naturelles et appelons les trajectoires magnétiques correspondantes des trajectoires magnétiques de contact. Nous établissons les équations différentielles régissant ces trajectoires magnétiques de contact et démontrons qu'une telle trajectoire est équi-inclinée, c'est-à-dire que son angle de contact est constant, si et seulement si une certaine loi de conservation est satisfaite. Lorsque la variété de base est un espace M(k) à courbure sectionnelle constante et que la métrique sur le fibré tangent unitaire est de type Kaluza-Klein, les équations décrivant les trajectoires magnétiques prennent une forme particulièrement simple. Nous établissons alors une classification complète des courbes magnétiques équi-inclinées et, respectivement, des géodésiques sur T1M2(k), lorsque M2(k) est une surface riemannienne à courbure de Gauss constante k. En particulier, pour une large classe de métriques g-naturelles pseudo-riemanniennes de type Kaluza Klein sur T1M2(k), nous montrons que toute courbe magnétique de contact normale et équi-inclinée se projette sur un cercle riemannien (géodésique ou non) de la variété de base. De plus, lorsque la métrique sur T1M2(k) est non riemannienne, les projections de telles courbes sont nécessairement des géodésiques. Plusieurs de nos résultats généralisent ceux obtenus par J. Inoguchi et M. I. Munteanu dans le cadre de la métrique de Sasaki et de la structure métrique de contact standard sur le fibré tangent unitaire. En particulier, nous obtenons une généralisation d'un résultat de Klingenberg et Sasaki concernant la sphère S2, aux sphères de dimension deux et de rayon arbitraire, dont le fibré tangent unitaire est muni d'une métrique appropriée. 2. Symétries infinitésimales sur le fibré tangent et le fibré tangent unitaire Par ailleurs, l'étude des symétries constitue un domaine de recherche bien établi en géométrie différentielle, avec des interprétations physiques pertinentes. L'étude des symétries sur le fibré tangent et de leurs relations avec celles de la variété de base représente ainsi une problématique naturelle, qui a déjà été abordée dans certains cas particuliers de métriques et de symétries sur le fibré tangent. Dans cette direction, les champs de Killing sur le fibré tangent muni des métriques de Sasaki et de Cheeger-Gromoll ont été respectivement classifiés par S. Tanno, puis par M. T. K. Abbassi et M. Sarih. Lorsque le fibré tangent est muni d'une métrique g-naturelle arbitraire, le problème devient à la fois plus complexe et plus intéressant. Dans la littérature, on trouve certains résultats partiels concernant les champs de Killing sur le fibré tangent muni d'une métrique g-naturelle riemannienne. Dans le cadre plus général des métriques g-naturelles pseudo-riemanniennes sur le fibré tangent, une question particulièrement intéressante consiste à déterminer les symétries qui sont, en un certain sens, « héréditaires », c'est-à-dire celles qui sont obtenues comme relèvements naturels au fibré tangent de certaines symétries de la variété de base. À notre connaissance, le seul résultat disponible dans la littérature concernant les champs de vecteurs conformes sur le fibré tangent est celui de E. Peyghan et A. Heydari, dans le cas où le fibré tangent est muni d'une classe particulière de métriques g-naturelles pseudo-riemanniennes. Dans ce travail, nous nous intéressons aux symétries classiques sur le fibré tangent muni d'une métrique g-naturelle pseudo-riemannienne, issues naturellement de certains champs de vecteurs et tenseurs définis sur la variété de base. En particulier, nous caractérisons complètement les champs de vecteurs conformes, homothétiques et de Killing correspondant aux relèvements horizontal, vertical et complet de champs de vecteurs sur la variété de base. Il est particulièrement intéressant de constater que l'existence de certaines de ces symétries est propre à certaines métriques g-naturelles non riemanniennes, ce qui met en évidence les différences de comportement entre les géométries riemannienne et pseudo-riemannienne sur le fibré tangent. Concernant le fibré tangent unitaire d'une variété riemannienne muni de la métrique de Sasaki, T. Konno a établi une classification des champs de vecteurs de Killing préservant les fibres, ainsi qu'une classification complète des champs de vecteurs de Killing lorsque la variété de base est de dimension trois. À notre connaissance, les champs de vecteurs conformes sur les fibrés tangents unitaires n'ont pas encore été étudiés, même dans le cadre de la métrique de Sasaki. Dans cette thèse, nous nous intéressons donc à l'étude des champs de vecteurs conformes et de Killing sur le fibré tangent unitaire muni d'une métrique pseudo-riemannienne g-naturelle arbitraire. Cependant, une classification complète de ces champs de vecteurs s'avérant particulièrement difficile, nous nous proposons d'aborder les trois problèmes suivants : Donner les conditions nécessaires pour que les relèvements horizontal, tangent et complet d'un champ de vecteurs au fibré tangent unitaire soient conformes ou de Killing. Donner une classification complète des champs de vecteurs conformes préservant les fibres sur le fibré tangent unitaire muni d'une métrique de type Kaluza-Klein. Donner des exemples de champs de vecteurs conformes ne préservant pas les fibres sur le fibré tangent unitaire muni d'une métrique de type Kaluza-Klein. 3. Structures de solitons de Ricci sur le fibré tangent et le fibré tangent unitaire Enfin, les solitons de Ricci ont fait l'objet d'études approfondies dans différents contextes et sous divers angles. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux structures de solitons de Ricci naturelles sur le fibré tangent et le fibré tangent unitaire d'une variété riemannienne, c'est-à-dire à celles associées à des métriques g-naturelles pseudo-riemanniennes. Notre objectif est double. D'une part, nous étudions les structures de solitons de Ricci naturelles sur les fibrés tangents. Nous démontrons que toute structure de soliton de Ricci naturelle sur le fibré tangent induit une structure de soliton de Ricci sur la variété de base. Ce résultat met en évidence le phénomène d'« hérédité » associé aux métriques g-naturelles. En nous restreignant aux métriques g-naturelles qui sont des combinaisons linéaires des trois relèvements classiques de la métrique de base (horizontal, vertical et de Sasaki), avec des coefficients constants, nous établissons une caractérisation complète des structures de solitons de Ricci sur le fibré tangent. Nous démontrons, en particulier, que l'existence de telles structures nécessite la platitude de la variété de base, ce qui traduit une certaine rigidité de ces métriques. De plus, ce résultat nous garantit l'existence de structures de solitons de Ricci naturelles non triviales sur le fibré tangent d'une variété riemannienne. D'autre part, nous recherchons des structures de solitons de Ricci naturelles non triviales sur le fibré tangent unitaire d'une variété riemannienne, muni d'une métrique de type Kaluza-Klein. Nous montrons que, tandis que les solitons de Ricci déterminés par des relèvements verticaux sont nécessairement triviaux (c'est-à-dire correspondent à des variétés d'Einstein) en dimension arbitraire, les relèvements horizontaux de champs de vecteurs homothétiques sur une variété de base plate produisent des structures de solitons de Ricci naturelles non triviales de type Kaluza-Klein. Nous donnons également une caractérisation complète des solitons de Ricci de type gradient et de type Kaluza-Klein. De plus, lorsque la variété de base est à courbure sectionnelle constante, sans être nécessairement plate, nous démontrons que le relèvement complet au fibré tangent unitaire d'un champ de vecteurs homothétique non nul sur la variété de base est le champ de vecteurs potentiel d'une structure de soliton de Ricci non triviale sur le fibré tangent unitaire, muni d'une métrique g-naturelle pseudo-riemannienne de type Kaluza-Klein convenablement choisie. Nous donnons également une classification complète des champs de vecteurs préservant les fibres sur le fibré tangent unitaire qui sont des champs de vecteurs potentiels de structures de solitons de Ricci, lorsque ce fibré est muni d'une métrique g-naturelle pseudo-riemannienne de type Kaluza-Klein. Enfin, il convient de souligner que l'existence de structures de solitons de Ricci naturelles sur les fibrés tangents et les fibrés tangents unitaires requiert l'existence de champs de vecteurs homothétiques sur la variété de base, ce qui présuppose certaines restrictions topologiques sur cette dernière.