Une cohomologie pour des algèbres de poisson quadratiques : classifications - déformations

Abstract

Dans ce travail, nous étudions les structures de Poisson quadratiques sur K[X1, … Xn] introduites par Sklyanin (1982). Pour tenter des classifications, nous donnons tous les prolongements à isomorphisme près des classes sur K[X1, X2] à K[X1, X2, X3] ainsi que les formules générales des prolongements de K[X1, … Xn] à K[X1, … Xn+1]. On remarque que les classes de Dufour et Haraky en dimension 3 ne sont en grande majorité que certains de nos prolongements. Ensuite, nous bâtissons une sous cohomologie de chevalley où nous ne considérons de poids donnés qui sont des dérivations par rapport à chacun de leurs arguments. Ceci nous permet de montrer que les structures de Poisson quadratiques admettent toujours des déformations. On en déduit une généralisation de la notion classique de rigidité d’une algèbre de Lie. Vue la complexité des calculs cohomologiques, nous terminons par un logiciel de calcul du 2ème espace de cohomologie de Poisson (indispensable au calcul des déformations) et nous traitons des exemples importants en dimension 3 et 4.