Problèmes de préservation : Une étude des isomorphismes d'ordre

Abstract

Soient C(X) l’alg`ebredetouteslesfonctionscontinues`avaleurscomplexessurunespacecompact de Hausdorff X et B(H) l’alg`ebredetouslesop´erateursborn´essurunespacedeHilbert H. Plusieurs chercheursdanslitt´eraturesesontint´eress´es`alastructured’ordredesalg`ebresde type C(X) etcelledetype B(H), voirparexemples[24,33,45].Nouspouvonsconsid´ererla structure d’ordreduproduittensoriel, C(X)⊗B(H), commeuneg´en´eralisationdesdeuxordres pr´ec´edents,etnouspouvonsr´ecup´ererchacunsimultan´ement`apartirdecetteg´en´eralisation. L’alg`ebredeseffetsd’uneC∗-alg`ebreunitaireestlacollectiondetousles´el´ementspositifsayant une normeauplus´egale`a1.Danscetteth`ese,nousdonnonsunedescriptioncompl`etepourtous les isomorphismesdel’ordreentrelesalg`ebresdeseffetsdesC∗-alg`ebresdetype C(X) ⊗ B(H). Aussi,danscetteth`ese,nous´etendronsl’´etudedesisomorphismesdel’ordreauxop´erateurs non born´es.Enfait,nousfournironsunedescriptioncompl`etepourtouslesisomorphismesde l’ordre entretroistypesdiff´erentsd’ensemblesquisecomposentd’op´erateursauto-adjointsnon born´es.Notamment,l’ensembledetouslesop´erateurspositifs,l’ensembledetouslesop´erateurs positifsborn´ementinversiblesetl’ensembledetouslesop´erateursauto-adjoints.Deplus,nous ´etendons´egalementdesr´esultatsbienconnus,quiontprisleursoriginesdanslesop´erateurs born´es,aucontextedesop´erateursnonborn´es.