B-splines et quasi-interpolants sur un réseau tridirectionnel du plan

Abstract

Cette thèse est une étude de l’approximation par des quasi-interpolants basés sur des B-splines à une ou deux variables. Le mot B-spline désigne ici, d’une façon générale, une fonction polynômiale par morceaux, à support borné et ayant une certaine régularité. Dans le cas d’une variable, nous démontrons des résultats de convergence et de majorations d’erreur pour ces quasi-interpolants définis au moyen des B-splines classiques et utilisant des valeurs moyennes de la fonction à approcher. Dans le cas de deux variables, nous définissons de nouvelles familles de B-splines sur la triangulation uniforme du plan, engendre par les droites parallèles aux trois directions (1,0), (0,1) et (1,1). Ces fonctions généralisant les box-splines classiques sont construites par convolution à partir de fonctions à support simple. Nous démontrons l’indépendance linéaire de la famille des translatées entières de ces B-splines et nous décrivons l’espace des polynômes de degré maximal inclus dans l’espace qu’elles engendrent. Dans cet espace, nous construisons des quasi-interpolants donnant l’ordre optimal d’approximation de fonctions assez régulière et utilisant des valeurs ponctuelles ou des valeurs moyennes locales de ces fonctions et de leurs dérivées.