Méthodes de géométrie différentielle dans les modèles statistiques et applications : - Modèles exponentiels et modèles normaux multidimensionnels. - Reconstruction des densités de probabilité et des densités spectrales

Abstract

Le présent travail est une large application des méthodes de géométrie différentielles en statistique. Le premier chapitre introduit les structures de géométrie différentielle en statistique, essentiellement une structure de variété Riemannienne munie d’une paire de connexions en dualité par rapport à certaines métriques. Ces méthodes ont déjà été utilisées par AMARI CHENTSOV, EFRON, LAURITZEN, ………….. Les deux chapitres suivants sont consacrés à l’étude des estimateurs par projection étendue, proposés par Amari et Lauritzen et surtout à l’étude de leurs propriétés asymptotiques qui, dans le cas des familles exponentielles, s’expriment comme des propriétés géométriques. Nous montrons ainsi que l’efficacité au premier ordre équivaut au fait que la géométrie Riemannienne sous-jacente est conformément équivalente à celle de Fisher et que l’efficacité au second ordre se traduit par une propriété analogue sur les connexions sous-jacentes. Il faut noter que cette classe d’estimateurs comporte à peu près tous les estimateurs usuels : maximum de vraisemblance, du minimum de contraste ……….. La dernière partie est une application des résultats précédents : 1- Au modèle normal multidimensionnel, en particulier la régression non-linéaire multidimensionnelle gaussienne. 2- A la projection dans le cadre de variétés Hilbertiennes pour la reconstruction des densités de probabilité et des densités spectrales.