Eléments finis composantes de classe Ck dans IR²

Abstract

Le but de cette thèse est d’étudier la résolution de problèmes d’interpolation de Hermite dans le plan, à l’aide de certaines familles d’éléments finis dits composites, généralisant quelques éléments finis classiques. Considérons une fonction suffisamment régulière u sur un domaine polygonal borné D du plan, muni d’une partition T (resp.Q) en triangles (resp. quadrilatères). Nous cherchons des fonctions v, dont les dérivées jusqu’à l’ordre r sont continues sur D, qui interpolent u et ses dérivées au moins jusqu’à l’ordre r, en chaque sommet de T (resp. Q) et qui soient des splines polynômiales de degré n supérieur à r, sur certaines sous-triangulations de T ou de Q, obtenues en subdivisant chaque élément de la partition en plusieurs triangles. Le procédé de construction est local : l’interpolant est construit sur chaque élément de la partition indépendamment des autres éléments. Ceci cous conduit à résoudre des problèmes d’unisolvence pour des schémas de données d’interpolation sur chaque élément fini. Il existe en général des relations entre le degré n et l’ordre r de régularité globale. Nous montrons l’existence d’une valeur minimale du degré n pour une régularité r donnée, sous les contraintes mentionnées ci-dessus. Pour les éléments finis triangulaires, nous constatons que cette valeur est d’autant plus petite que la sous-triangulation de T est plus raffinée et plus régulière. Nous illustrons cette étude par plusieurs essais numériques confirmant les résultats théoriques.